[论文解读] Intrinsic Square Function Characterizations of Hardy Spaces with Variable Exponents

Ciqiang Zhuo, Dachun Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2014

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 40被引用 5

一句话总结

本文建立了变指数 Hardy 空间 $H^{p(\bullet)}(\mathbb{R}^n)$ 的固有平方函数刻画，证明在 $p(\cdot)$ 满足较弱条件时，固有 Littlewood-Paley $g$-函数、固有 Lusin 面积函数以及固有 $g^*_{\lambda}$-函数均可刻画 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$，并给出了对偶空间 $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$ 的 $p(\cdot)$-Carleson 测度刻画。结果将经典刻画推广至变指数情形，并给出了精确的范围估计。

ABSTRACT

Let $p(\cdot):\ \mathbb R^n o(0,\infty)$ be a measurable function satisfying some decay condition and some locally log-Hölder continuity. In this article, via first establishing characterizations of the variable exponent Hardy space $H^{p(\cdot)}(\mathbb R^n)$ in terms of the Littlewood-Paley $g$-function, the Lusin area function and the $g_λ^\ast$-function, the authors then obtain its intrinsic square function characterizations including the intrinsic Littlewood-Paley $g$-function, the intrinsic Lusin area function and the intrinsic $g_λ^\ast$-function. The $p(\cdot)$-Carleson measure characterization for the dual space of $H^{p(\cdot)}(\mathbb R^n)$, the variable exponent Campanato space $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb R^n)$, in terms of the intrinsic function is also presented.

研究动机与目标

• 将经典的 Hardy 空间刻画推广至变指数情形 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$。
• 为 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ 建立固有平方函数刻画（包括固有 $g$、$g^*_{\lambda}$ 和固有 Lusin 面积函数）。
• 通过固有平方函数刻画对偶空间 $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$，利用 $p(\cdot)$-Carleson 测度。
• 将先前关于加权和 Musielak-Orlicz Hardy 空间的结果推广至变指数情形。

提出的方法

• 首先，通过经典平方函数刻画 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$：即 Littlewood-Paley $g$-函数、Lusin 面积函数以及 $g^*_{\lambda}$-函数。
• 然后，建立这些平方函数的等价固有版本，并在 $p(\cdot)$ 局部对数 Hölder 连续且满足衰减条件的假设下，证明其与 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ 的等价性。
• 利用原子分解与帐篷空间技巧，通过极大函数与平方函数算子，将 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ 与帐篷空间范数联系起来。
• 为 $b \in \mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$ 定义固有平方函数 $\widetilde{A}_{(\alpha,\epsilon),s}(b)(x,t)$，并证明其有界性与 $p(\cdot)$-Carleson 测度的关系。
• 在帐篷空间中应用 Plancherel 公式与 Hölder 不等式，通过固有平方函数范数控制对偶配对 $\int f \bar{b} \, dx$。
• 利用 dyadic 分解与立方体停止时间论证，控制 dyadic cubes 上固有平方函数的 $L^2$-范数，从而导出 $p(\cdot)$-Carleson 测度条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在对 $p(\cdot)$ 的最小假设下，固有平方函数能否刻画变指数 Hardy 空间 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$？
• RQ2 固有 $g^*_{\lambda}$-函数刻画 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ 的 $\lambda$ 的精确范围是什么？
• RQ3 如何通过固有平方函数刻画对偶空间 $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$？
• RQ4 $p(\cdot)$-Carleson 测度条件是否为对偶配对有界的充要条件？

主要发现

• 若 $p(\cdot)$ 局部对数 Hölder 连续且满足衰减条件，则固有 Littlewood-Paley $g$-函数可刻画 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$。
• 固有 $g^*_{\lambda}$-函数在 $\lambda > 2 + 2(\alpha + s)/n$ 时可刻画 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$，与文献中已知的最佳范围一致。
• 在相同 $p(\cdot)$ 条件下，固有 Lusin 面积函数亦可刻画 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$。
• 对偶空间 $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$ 由固有平方函数 $\widetilde{A}_{(\alpha,\epsilon),s}(b)$ 的 $p(\cdot)$-Carleson 测度条件刻画。
• $p(\cdot)$-Carleson 测度范数 $\|d\mu\|_{p(\cdot)}$ 与 $b$ 在 $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$ 中的范数等价，常数仅依赖于 $n$、$p(\cdot)$、$\alpha$、$\epsilon$ 和 $s$。
• 对偶配对 $\int f \bar{b} \, dx$ 被 $\|f\|_{H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)} \|d\mu\|_{p(\cdot)}$ 控制，从而通过固有平方函数建立了 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ 与 $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$ 之间的对偶性。