[论文解读] Introduction of a Quantum of Time ("chronon"), and its Consequences for Quantum Mechanics

Ruy Farias, Erasmo Recami|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 1997

Quantum Mechanics and Applications参考文献 72被引用 19

一句话总结

本文引入了一个基本的时间量子——时间子（$\tau_0$），以有限差分方程重述非相对论性量子力学，从而在薛定谔、海森堡和密度矩阵图像中获得新表述。关键结果是：离散化量子力学自然描述耗散系统（通过滞后形式），并导出轻子的离散质量谱，而仅在对称形式下当 $\tau_0 \to 0$ 时恢复标准量子力学。该方法引入了非厄米有效哈密顿量，以现象学方式建模具有有限寿命的不稳定态，为带电粒子的退相干和辐射发射提供了新框架。

ABSTRACT

In this review-article, we discuss the consequences of the introduction of a quantum of time tau_0 in the formalism of non-relativistic quantum mechanics (QM) by referring ourselves in particular to the theory of the "chronon" as proposed by P.Caldirola. Such an interesting "finite difference" theory, forwards --at the classical level-- a solution for the motion of a particle endowed with a non-negligible charge in an external electromagnetic field, overcoming all the known difficulties met by Abraham-Lorentz's and Dirac's approaches (and even allowing a clear answer to the question whether a free falling charged particle does or does not emit radiation), and --at the quantum level-- yields a remarkable mass spectrum for leptons. After having briefly reviewed Caldirola's approach, we compare one another the new Schroedinger, Heisenberg and density-operator (Liouville-von Neumann) pictures resulting from it. Moreover, for each representation, three (retarded, symmetric and advanced) formulations are possible, which refer either to times t and t-tau_0, or to times t-tau_0/2 and t+tau_0/2, or to times t and t+tau_0, respectively. It is interesting to notice that, e.g., the "retarded" QM does naturally appear to describe QM with friction, i.e., to describe dissipative quantum systems (like a particle moving in an absorbing medium). In this sense, discretized QM is much richer than the ordinary one. When the density matrix formalism is applied to the solution of the measurement problem in QM, very interesting results are met, so as a natural explication of "decoherence".

研究动机与目标

• 基于基本时间间隔 $\tau_0$（即时间子）发展非相对论性量子力学的一致有限差分形式化表述。
• 探讨时间离散化对薛定谔、海森堡和密度算符图像的影响，并比较滞后、对称与超前形式。
• 证明滞后形式自然描述耗散量子系统，如处于吸收介质中的粒子。
• 推导有限差分演化算符，并证明其在连续极限下等价于非厄米哈密顿量。
• 将形式化应用于物理系统（自由粒子、谐振子、氢原子）及测量问题，揭示退相干与辐射发射的新见解。

提出的方法

• 引入具有基本时间间隔 $\tau_0$ 的离散时间格点，导出时间演化的有限差分方程。
• 通过相对于 $t$ 和 $t \pm \tau_0$ 或 $t \pm \tau_0/2$ 的时间索引偏移，推导滞后、对称与超前形式。
• 为滞后情况构造时间演化算符 $\hat{U}_{\text{ret}}(t,t_0) = \left(1 + \frac{i}{\hbar}\tau\hat{H}\right)^{-(t-t_0)/\tau}$。
• 将演化算符表示为包含 $\tan^{-1}$ 与 $\ln$ 函数的指数形式，将其与非厄米有效哈密顿量 $\tilde{H} = \hat{\kappa} - i\hat{\nu}$ 联系起来。
• 应用费曼路径积分方法推导有限差分薛定谔方程，并研究其解。
• 利用密度矩阵形式化建模退相干与测量，表明在滞后形式下态约化自然出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 引入基本时间间隔 $\tau_0$ 如何改变薛定谔、海森堡与密度矩阵图像中标准量子力学形式？
• RQ2 为何仅对称形式在 $\tau_0 \to 0$ 时恢复标准量子力学，而滞后形式描述耗散系统？
• RQ3 有限差分方法是否可在不预先引入非厄米哈密顿量的情况下再现不稳定量子态的物理现象，如衰变速率与寿命？
• RQ4 离散量子力学对谐振子与氢原子等系统的预测与标准量子力学有何不同？
• RQ5 离散量子力学的滞后形式是否能通过内在时间演化自然解释退相干与测量问题？

主要发现

• 由于演化算符中存在内在阻尼项，离散量子力学的滞后形式自然描述耗散量子系统，如处于吸收介质中的粒子。
• 仅在 $\tau_0 \to 0$ 的极限下，对称形式恢复标准量子力学，而滞后与超前形式则不能。
• 滞后情况下的演化算符表达为 $\hat{U}_{\text{ret}}(t,t_0) = \exp\left[-\frac{(t-t_0)}{2\tau}\ln\left(1+\frac{\tau^2\hat{H}^2}{\hbar^2}\right)\right]\exp\left[-i\frac{t-t_0}{\tau}\tan^{-1}\left(\frac{\tau\hat{H}}{\hbar}\right)\right]$，与非厄米有效哈密顿量相联系。
• 对于不稳定态，滞后情况下的寿命 $\tau_L$ 表示为 $\tau_L = \frac{\tau}{\ln\left(1 + \frac{\tau^2 E_n^2}{\hbar^2}\right)}$，提供了一种从衰变速率估算 $\tau_0$ 的现象学方法。
• 在对称形式中，当能量超过临界值时，$\hat{\nu}$ 变为与 $\hat{H}$ 无关，$\hat{\kappa}$ 获得非零且与能量相关的值，从而破坏时间演化的标准幺正性。
• 该形式化通过滞后演化自然解释退相干，其中演化算符中的瞬态项导致相干性丧失，为测量中的态约化提供了动力学解释。