[论文解读] Introduction To Arithmetic Groups

Dave Witte Morris|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 80被引用 191

一句话总结

这篇全面的专著介绍了算术群及其在几何、动力系统和表示论中的性质，重点研究半单李群中的格。它建立了若干基础结果，如通过 Margulis 得出的不可约格的算术性、超刚性（superrigidity）（通过 Margulis）、正规子群结构，以及约化理论和 Ratner 定理的应用，所有这些都基于实秩和 Q-秩、单位酉表示以及性质 (T)。

ABSTRACT

This book provides a gentle introduction to the study of arithmetic subgroups of semisimple Lie groups. This means that the goal is to understand the group SL(n,Z) and certain of its subgroups. Among the major results discussed in the later chapters are the Mostow Rigidity Theorem, the Margulis Superrigidity Theorem, Ratner's Theorems, and the classification of arithmetic subgroups of classical groups. As background for the proofs of these theorems, the book provides primers on lattice subgroups, arithmetic groups, real rank and Q-rank, ergodic theory, unitary representations, amenability, Kazhdan's property (T), and quasi-isometries. Numerous exercises enhance the book's usefulness both as a textbook for a second-year graduate course and for self-study. In addition, notes at the end of each chapter have suggestions for further reading. (Proofs in this book often consider only an illuminating special case.) Readers are expected to have some acquaintance with Lie groups, but appendices briefly review the prerequisite background.

研究动机与目标

• 为算术群及其在对称空间几何与动力系统中的作用提供一个自包含的导论。
• 通过 Margulis 的算术性定理，建立高阶半单李群中不可约格的算术性。
• 通过关键工具（实秩与 Q-秩、单位酉表示、可约性以及 Kazhdan 的性质 (T)）探索格的结构。
• 呈现基础结果，如 Mostow 刚性、Margulis 超刚性，以及格中正规子群的分类。
• 将经典结果推广至 S-算术群，并统一数域与 p-进完备化中的概念。

提出的方法

• 利用 Iwasawa 分解和 Siegel 集，通过未修正轨道的非发散性，证明 SL(n, Z) 是 SL(n, R) 中的格。
• 应用约化理论和粗略基本域（通过 Siegel 集）分析算术子群的结构。
• 运用遍历论和 Moore 遍历定理研究不变测度和轨道闭包。
• 利用单位酉表示和直接积分分解分析希尔伯特空间上的群作用。
• 应用 Kazhdan 的性质 (T) 和可约性来刻画格及其正规子群。
• 通过限制标量和 p-进完备化，将经典结果（如 Ratner 定理）推广至 S-算术群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，半单李群中的不可约格是算术的？
• RQ2 实秩与 Q-秩如何决定格的几何与动力行为？
• RQ3 实秩 ≥2 与秩为 1 的格中，正规子群的结构是怎样的？
• RQ4 幂零流及其轨道闭包在多大程度上决定了算术格的结构？
• RQ5 S-算术格如何推广经典算术群？其关键不变量是什么？

主要发现

• SL(n, Z) 是 SL(n, R) 中的格，通过 Siegel 集和幂零轨道的非发散性得以证明。
• Margulis 算术性定理表明，任何在实秩 ≥2 的半单群中的不可约格都是算术的。
• 对于 Q-秩 ≥2 的格，正规子群要么是有限的，要么其商群是有限的，这由 Margulis 正规子群定理给出。
• 具有 Kazhdan 性质 (T) 的格也具有性质 (T)，且其阿贝尔化是有限的。
• 关于幂零流的 Ratner 定理可推广至 S-算术群，确保轨道闭包是代数的。
• S-算术格是实群与 p-进群乘积中的格，其基本域通过紧致集与 Siegel 集的乘积构造而成。