[论文解读] Introduction to the ADM formalism

Alejandro Corichi, Darío Núñez|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2022

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 8

一句话总结

本文提供了对ADM形式化的全面且易于理解的介绍——这是阿诺维茨、德泽和文泽尔提出的广义相对论的哈密顿形式。它推导出正则变量（三维度规及其共轭动量），构建了哈密顿约束，并展示了其在布亚希类型宇宙等宇宙学模型中的应用，表明动力学可简化为在极小超空间中具有有效势能项的测地线运动。

ABSTRACT

The authors present concepts and mathematical developments which give rise to the Hamiltonian formulation of Einstein's general relativity, first introduced by Arnowitt, Deser, and Misner. All the geometrical quantities needed for the construction are explicitly obtained, and examples of some of the application of the formalism are given.

研究动机与目标

• 为不熟悉时空3+1分解的学生和研究人员提供一个清晰、自包含的ADM形式化介绍。
• 通过哈密顿框架阐明广义相对论中动力学方程与约束之间的区别。
• 建立应用ADM形式化于量子引力和数值相对论所需的数学与几何基础。
• 通过具体例子（特别是齐性宇宙学模型，如布亚希类型宇宙）说明该形式化。
• 推动该形式化在高级领域（如阿什泰卡尔变量、路径积分量化以及超空间理论）中的应用。

提出的方法

• 通过将时空分解为由时间函数foliated的空间超曲面，推导ADM形式化，引入内禀时间函数（lapse）和位移函数（shift）。
• 将爱因斯坦-希尔伯特作用量写成3+1形式，识别拉格朗日密度为 $\mathcal{L} = \sqrt{-g} R$，并对里奇标量进行3+1分解。
• 引入正则变量：空间度规 $\gamma_{ij}$ 及其共轭动量 $\pi^{ij}$，通过变分原理推导，并正确处理边界项。
• 通过勒让德变换构造哈密顿密度，导出哈密顿约束 $\mathcal{H}_0 = 0$ 和动量约束 $\mathcal{H}_i = 0$。
• 将该形式化应用于齐性宇宙学模型（布亚希类型），其中三维度规仅依赖于时间，使系统简化为有限自由度。
• 在极小超空间中推导出有效哈密顿量 $\mathbf{H} = \frac{1}{2}(\pi_A \pi_B G^{AB} - R)$，并展示其与超空间中具有 $R$-依赖势能的测地线运动的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过哈密顿形式化从爱因斯坦方程的约束结构中分离出其动力学内容？
• RQ2 在时空的3+1分解中，正则变量（度规与动量）是什么？它们如何从爱因斯坦-希尔伯特作用量推导而来？
• RQ3 ADM形式化如何实现引力动力学在空间超曲面上的时间演化描述？
• RQ4 极小超空间中的哈密顿量在何种意义上类似于在弯曲空间中的自由粒子？里奇标量在修正测地线运动中起什么作用？
• RQ5 ADM形式化如何将哈密顿方程与超空间中的测地线方程联系起来？额外的 $R^{;A}$ 项有何意义？

主要发现

• ADM形式化成功地将时空的动力学演化与约束结构分离，其中哈密顿约束 $\mathcal{H}_0 = 0$ 编码了理论的物理内容。
• 在布亚希类型宇宙学模型中，三维几何仅依赖于时间，使系统简化为有限自由度，从而可显式构造哈密顿量。
• 极小超空间中的有效哈密顿量形式为 $\mathbf{H} = \frac{1}{2}(\pi_A \pi_B G^{AB} - R)$，其类似于在弯曲超空间中具有势能项 $R$ 的自由粒子哈密顿量。
• 由此哈密顿量导出的哈密顿方程产生一个测地线方程，其附加一个与 $\frac{1}{2}R^{;A}$ 成正比的力项，表明测地线运动受到非平凡修正。
• 该形式化建立了宇宙学模型动力学与超空间中测地流之间的直接联系，其中超度规 $G^{AB}$ 决定三维几何的动力学行为。
• 3+1分解为正则量子化提供了系统方法，并构成了阿什泰卡尔变量和数值相对论等关键发展的基础。