[论文解读] Invariance of Convex Sets for Non-autonomous Evolution Equations Governed by Forms

Wolfgang Arendt, Dominik Dier+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 8被引用 14

一句话总结

本文為由对偶形式控制的非自治演化方程中闭凸集的不变性建立了一个新准则。证明表明，若到凸集的正交投影保持形式定义域，并满足涉及形式与外力的特定不等式，则从该集合出发的解将对所有时间保持在其中。主要贡献在于将已知的不变性准则推广至非自治与非齐次情形。

ABSTRACT

We consider a non-autonomous form $\\fra:[0,T]\ imes V\ imes V \ o \\C$ where $V$ is a Hilbert space which is densely and continuously embedded in another Hilbert space $H$. Denote by $\\A(t) \\in \\L(V,V')$ the associated operator. Given $f \\in L^2(0,T, V')$, one knows that for each $u_0 \\in H$ there is a unique solution $u\\in H^1(0,T;V')\\cap L^2(0,T;V)$ of $$\\dot u(t) + \\A(t) u(t) = f(t), \\, \\, u(0) = u_0.$$ %\\begin{align*} %&\\dot u(t) + \\A(t)u(t)= f(t)\\ %& u(0)=u_0. %\\end{align*} This result by J. L. Lions is well-known. The aim of this article is to find a criterion for the invariance of a closed convex subset $\\Conv$ of $H$; i.e.\\ we give a criterion on the form which implies that $u(t)\\in \\Conv$ for all $t\\in[0,T]$ whenever $u_0\\in\\Conv$. In the autonomous case for $f = 0$, the criterion is known and even equivalent to invariance by a result proved in \\cite{Ouh96} (see also \\cite{Ouh05}). We give applications to positivity and comparison of solutions to heat equations with non-autonomous Robin boundary conditions. We also prove positivity of the solution to a quasi-linear heat equation.

研究动机与目标

• 为希尔伯特空间 H 中的闭凸子集 𝒞 ⊂ H 在由形式控制的非自治演化方程下的不变性建立充分条件。
• 将已知的自治情形下的不变性准则推广至非自治与非齐次设置。
• 对具有罗宾边界条件的时间依赖抛物型偏微分方程，提供解的正性与比较性质的刻画。
• 利用所发展的框架，证明拟线性热方程的正性。
• 修正并推广 [DL88] 中关于柯西问题解正性的有缺陷证明。

提出的方法

• 作者在希尔伯特空间 V 上的非自治闭形式 𝔞(t,⋅,⋅) 框架内工作，其中 V 以稠密且连续的方式嵌入 H。
• 通过对偶配对 ⟨A(t)u, v⟩ = 𝔞(t, u, v) 定义相关算子 A(t) ∈ ℒ(V, V′)。
• 利用利翁的最大正则性理论，建立柯西问题 ẋ(t) + A(t)x(t) = f(t), x(0) = x₀ 在 u ∈ H¹(0,T; V′) ∩ L²(0,T; V) 中的存在性与唯一性。
• 核心方法涉及推导一个涉及凸集 𝒞 上正交投影 P 的变分不等式，要求对所有 v ∈ V，有 Re 𝔞(t, Pv, v−Pv) ≥ Re⟨f(t), v−Pv⟩。
• 证明表明，若初始数据 x₀ ∈ 𝒞 且该不等式成立，则对所有 t ∈ [0,T]，有 u(t) ∈ 𝒞。
• 该证明依赖于向量值索伯列夫嵌入与弱导数表征，利用了投影与解复合后的利普希茨连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，由形式控制的非自治演化方程的解将对所有时间保持在给定的闭凸集中？
• RQ2 经典自治系统中的不变性准则如何推广至非自治与非齐次情形？
• RQ3 在何种条件下，时间依赖抛物型偏微分方程的解具有正性，且其边界条件为非自治罗宾型？
• RQ4 该不变性准则是否可用于证明不同柯西问题解之间的比较原理？
• RQ5 在自治情形下当 f = 0 时，该不变性准则是否为必要且充分的？

主要发现

• 本文建立了一个新的不变性充分条件：若 P(V) ⊆ V 且对所有 v ∈ V，有 Re 𝔞(t, Pv, v−Pv) ≥ Re⟨f(t), v−Pv⟩，则当 u₀ ∈ 𝒞 时，对所有 t ∈ [0,T]，有 u(t) ∈ 𝒞。
• 当 f = 0 时，该准则退化为自治情形下已知的必要且充分条件，推广了 [Ouh96] 的结果。
• 该准则刻画了解的正性：若 u₀ ≥ 0 且 f(t) ≥ 0 几乎处处成立，则对所有 t ∈ [0,T]，有 u(t) ≥ 0 当且仅当形式满足正锥的不变性条件。
• 作者通过验证正锥的不变性条件，证明了拟线性热方程的正性。
• 在非自治罗宾边界条件下的应用表明，解的正性与比较性质由同一基于形式的准则刻画。
• 该结果修正了 [DL88] 中关于半群框架下柯西问题解正性的错误证明。