[论文解读] Invariance Proximity: Closed-Form Error Bounds for Finite-Dimensional Koopman-Based Models

Masih Haseli, Jörge E. Cortes|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2023

Model Reduction and Neural Networks被引用 4

一句话总结

本文通过利用子空间与其Koopman像之间的Jordan主角，提出了一种不变性接近度的闭式解——这是有限维Koopman模型中最坏情况相对预测误差的度量。该方法通过同构映射至欧几里得空间，实现了高效计算，可使用标准数值算法，并为模型精度和安全认证提供了精确的误差界。

ABSTRACT

A popular way to approximate the Koopman operator's action on a finite-dimensional subspace of functions is via orthogonal projections. The quality of the projected model directly depends on the selected subspace, specifically on how close it is to being invariant under the Koopman operator. The notion of invariance proximity provides a tight upper bound on the worst-case relative prediction error of the finite-dimensional model. However, its direct calculation is computationally challenging. This paper leverages the geometric structure behind the definition of invariance proximity to provide a closed-form expression in terms of Jordan principal angles on general inner product spaces. Unveiling this connection allows us to exploit specific isomorphisms to circumvent the computational challenges associated with spaces of functions and enables the use of existing efficient numerical routines to compute invariance proximity.

研究动机与目标

• 为计算有限维Koopman模型中关键的最坏情况相对预测误差度量——不变性接近度，提供一种计算上可行的方法。
• 克服直接计算不变性接近度的计算不可行性，后者需要在无限维函数空间中对不可数多个函数取上确界。
• 在系统分析与控制应用中，实现Koopman模型的精确误差量化与认证。
• 建立一个几何框架，将子空间不变性、Koopman算子动力学与一般内积空间中的主角度联系起来。

提出的方法

• 本文将不变性接近度表述为子空间与其在Koopman算子作用下的像之间最大Jordan主角的正弦值。
• 通过Jordan主角的正交分解揭示误差度量背后的几何结构。
• 该方法利用同构映射，将无限维函数空间问题映射至有限维复欧几里得空间，从而实现高效计算。
• 该方法利用现有的数值线性代数工具（如MATLAB的subspace命令）来计算最大主角度。
• 该公式具有一般性，适用于任意内积空间，不限于特定函数类或数据驱动设置。
• 该方法避免依赖数据采样或统计假设，可在函数层面提供解析误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般内积空间中，如何高效计算Koopman模型中不变性接近度这一最坏情况相对预测误差的度量？
• RQ2 子空间与其Koopman像之间的何种几何关系决定了有限维Koopman近似中最紧的误差界？
• RQ3 是否可以利用主角度重新表述不变性接近度的计算，以支持标准数值算法的使用？
• RQ4 最大主角度在多大程度上完全表征了Koopman模型预测中的最坏情况相对误差？
• RQ5 与数据驱动的误差界相比，所提出的闭式表达在准确性和计算效率方面表现如何？

主要发现

• 不变性接近度精确等于子空间与其Koopman像之间最大Jordan主角的正弦值，提供了紧致的闭式误差界。
• 对于Koopman不变子空间S₁，不变性接近度约为零（在机器精度范围内），证实了模型具有精确的预测能力。
• S₂的不变性接近度为0.048，表明其最坏情况下的相对函数预测误差为4.8%。
• 对于S₃，不变性接近度为0.823，对应最坏情况下的相对误差为82.3%，表明在此子空间上的模型极不可靠。
• 尽管S₂ ⊂ S₃，更大的子空间S₃却导致显著更差的预测精度，说明更大的子空间不一定是更优选择。
• 通过100条轨迹的数值验证表明，S₂上的模型中位误差和方差均低于S₃上的模型，证实了不变性接近度作为模型质量度量的预测能力。