[论文解读] Invariant Carnot-Caratheodory metrics on $S^3$, $SO(3)$, $SL(2)$ and lens spaces

Ugo Boscain, Francesco Rossi|ArXiv.org|Sep 25, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文计算了由Cartan分解和Killing形式诱导的左不变子黎曼结构在$SU(2) \simeq S^3$、$SO(3)$和$SL(2)$上的全局切点轨迹。文中给出了测地线、共轭轨迹以及Carnot-Carathéodory距离的显式表达式，其距离为初等函数的反函数；对于$SU(2)$，切点轨迹为去掉一个点的最大圆周；对于$SO(3)$和$SL(2)$，切点轨迹为分层集合，这是继Heisenberg群之后首次在子黎曼几何中实现全局切点轨迹的显式计算。

ABSTRACT

In this paper we study the invariant Carnot-Caratheodory metrics on $SU(2)\simeq S^3$, $SO(3)$ and $SL(2)$ induced by their Cartan decomposition and by the Killing form. Beside computing explicitly geodesics and conjugate loci, we compute the cut loci (globally) and we give the expression of the Carnot-Caratheodory distance as the inverse of an elementary function. We then prove that the metric given on $SU(2)$ projects on the so called lens spaces $L(p,q)$. Also for lens spaces, we compute the cut loci (globally). For $SU(2)$ the cut locus is a maximal circle without one point. In all other cases the cut locus is a stratified set. To our knowledge, this is the first explicit computation of the whole cut locus in sub-Riemannian geometry, except for the trivial case of the Heisenberg group.

研究动机与目标

• 确定三维单李群$SU(2)$、$SO(3)$和$SL(2)$上左不变子黎曼结构的全局切点轨迹结构。
• 将从单位元出发的Carnot-Carathéodory距离表示为初等函数的反函数。
• 分析$SU(2)$度量在透镜空间$L(p,q)$上的投影，并计算其切点轨迹。
• 解决子黎曼几何中长期悬而未决的难题：在非平凡Heisenberg群情形下，计算完整的全局切点轨迹。

提出的方法

• 利用李代数的Cartan分解$\mathfrak{g} = \mathfrak{k} \oplus \mathfrak{p}$和Killing形式，定义$SU(2)$、$SO(3)$和$SL(2)$上的左不变子黎曼度量。
• 通过指数映射$\mathrm{Exp}(\theta, c, t) = e^{(A_k + A_p)t}e^{-A_k t}$参数化测地线，其中$A_p \in \mathfrak{p}$，$A_k \in \mathfrak{k}$，且$\|A_p\| = 1$。
• 应用庞特里亚金最大值原理，推导出可用初等函数（指数函数）表示的可积哈密顿系统。
• 利用对称性与迹分析对切点进行分类，区分局部切点轨迹、对称切点轨迹与非对称切点轨迹。
• 使用函数$r(c,t) = \sqrt{(g_{11} - g_{22})^2 + (g_{12} + g_{21})^2}$比较测地线端点，证明共轭测地线满足$c^2 = d^2$。
• 分析$\frac{\sin p}{p}$与$\frac{\sinh p}{p}$的单射性，推导出测地线端点的唯一性，并排除多余切点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$SU(2)$的$\mathfrak{k} \oplus \mathfrak{p}$子黎曼结构下，切点轨迹的全局结构是什么？
• RQ2 $SO(3)$与$SL(2)$的切点轨迹有何不同？其分层结构如何？
• RQ3 能否将$SU(2)$上的Carnot-Carathéodory距离表示为初等函数的反函数？
• RQ4 $SU(2)$上的子黎曼度量如何投影到透镜空间$L(p,q)$上？其切点轨迹是什么？
• RQ5 在$SL(2)$中，是否存在不属于局部切点轨迹与对称切点轨迹并集的切点？

主要发现

• 对于$SU(2)$，切点轨迹为去掉单位元的最大圆周$S^1$，对应于首次共轭轨迹。
• 对于$SO(3)$，切点轨迹为分层集合，由$\mathbb{R}P^2$与去掉一个点的圆周$S^1$组成，二者在一点处粘合。
• 对于$SL(2)$，切点轨迹为分层集合，由$\mathbb{R}^2$与去掉一个点的圆周$S^1$组成，同样在一点处粘合。
• 在$SU(2)$上，子黎曼距离由下式给出：当$\beta = 0$时，$d(g,\mathrm{Id}) = 2\sqrt{\arg(\alpha)(2\pi - \arg(\alpha))}$；否则为$\psi(\alpha)$，其中$\psi$为初等函数的反函数。
• 在$SL(2)$中，不存在位于$K^{\mathrm{sym}}_{\mathrm{Id}} \cup K^{\mathrm{loc}}_{\mathrm{Id}} \cup \{\mathrm{Id}\}$之外的切点，这是由$r(c,t)$的单射性与基于迹的对称性论证所证明。
• 确认$SL(2)$的切点轨迹为$K^{\mathrm{sym}}_{\mathrm{Id}} \cup K^{\mathrm{loc}}_{\mathrm{Id}}$，其中$K^{\mathrm{loc}}_{\mathrm{Id}}$为一维分量，$K^{\mathrm{sym}}_{\mathrm{Id}}$为二维分量。