[论文解读] Invariant distributions on non-distinguished nilpotent orbits with application to the Gelfand property of (GL(2n,R),Sp(2n,R))

Avraham Aizenbud, Eitan Sayag|ArXiv.org|Oct 10, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 8

一句话总结

该论文通过证明任何在 $GL_{2n}(\bbR)$ 上关于 $Sp_{2n}(\bbR)$ 不变且在转置下不变的分布，确立了对称对 $(GL_{2n}(\bbR), Sp_{2n}(\bbR))$ 是 Gelfand 对。利用 $D$-模理论以及对支撑在非突出幂零轨道上的不变分布的创新分析，作者表明：若某分布及其傅里叶变换的支撑均位于非突出轨道上，则此类分布必为零，从而确认了光滑适定表示的重数一性质。

ABSTRACT

We study invariant distributions on the tangent space to a symmetric space. We prove that an invariant distribution with the property that both its support and the support of its Fourier transform are contained in the set of non-distinguished nilpotent orbits, must vanish. We deduce, using recent developments in the theory of invariant distributions on symmetric spaces that the symmetric pair (GL(2n,R),Sp(2n,R)) is a Gelfand pair. More precisely, we show that for any irreducible smooth admissible Frechet representation $(π,E)$ of GL(2n,R) the space of continuous functionals $Hom_{Sp_{2n}(R)}(E,C)$ is at most one dimensional. Such a result was previously proven for p-adic fields in [HR] for the field of complex numbers in [S].

研究动机与目标

• 在阿基米德情形下确立对称对 $(GL_{2n}(\bbR), Sp_{2n}(\bbR))$ 的 Gelfand 性质。
• 通过分析对称空间上的不变分布，将 Gelfand-Kazhdan 方法扩展至实李群情形。
• 证明支撑在非突出幂零轨道上的不变分布，当其傅里叶变换也支撑在非突出轨道上时，必为零。
• 展示 $(GL_{2n}, Sp_{2n})$ 在 $\bbR$ 上的对称对是正则的，从而蕴含 Gelfand 性质。

提出的方法

• 利用 Nash 流形上的 Schwartz 分布理论分析对称空间 $\mathfrak{g}^\sigma$ 上的不变分布。
• 对分布应用傅里叶变换，并利用 $D$-模理论分析分布的奇异支集。
• 通过映射 $d(X) = \begin{pmatrix}X & 0 \\ 0 & X^t \end{pmatrix}$，将 $H = Sp_{2n}(\bbR)$ 在 $\mathfrak{g}^\sigma$ 上的轨道与 $\mathfrak{gl}_n(\bbR)$ 中的幂零轨道一一对应。
• 利用标准若尔当代数块在 $d$ 下的像的稠密性，证明 $\mathfrak{g}^\sigma$ 中唯一的突出幂零轨道是开集且关于 $H$ 不变。
• 通过共余纯子簇的论证以及中心化子簇的结构，证明：不存在非零分布同时满足其支撑与傅里叶变换支撑均位于非突出轨道上。
• 利用 [AG2] 中的正则性判别准则与零化结果，得出该对称对是正则的，因此为 Gelfand 对。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称对 $(GL_{2n}(\bbR), Sp_{2n}(\bbR))$ 是否满足 Gelfand 性质，即对 $GL_{2n}(\bbR)$ 的任意不可约光滑适定 Fréchet 表示 $\pi$，是否有 $\dim \Hom_{Sp_{2n}(\bbR)}(\pi, \bbC) \leq 1$？
• RQ2 能否在阿基米德情形下，通过不变分布与 $D$-模技术确立该对的 Gelfand 性质？
• RQ3 是否存在非零的 $Sp_{2n}(\bbR)$-不变分布，其在 $GL_{2n}(\bbR)$ 上不变但不关于转置不变？
• RQ4 在 $Sp_{2n}(\bbR)$ 作用下，$\mathfrak{g}^\sigma$ 中的幂零锥具有何种结构？哪些轨道是突出的？
• RQ5 能否利用 $D$-模理论证明：支撑在非突出幂零轨道上的分布，若其傅里叶变换也支撑在非突出轨道上，则必为零？

主要发现

• 根据 [AG2] 的定义，对称对 $(GL_{2n}(\bbR), Sp_{2n}(\bbR))$ 是正则的，从而蕴含 Gelfand 性质。
• 在 $\mathfrak{g}^\sigma$ 中存在唯一一个突出幂零轨道，且其为幂零锥中的开集。
• 任何 $Sp_{2n}(\bbR)$-不变分布在 $GL_{2n}(\bbR)$ 上均关于转置不变，此结论通过非突出轨道上某些不变分布的零化性得以证明。
• 若分布支撑在非突出幂零轨道上，则其傅里叶变换不可能也支撑在非突出轨道上，除非该分布恒为零。
• 证明依赖于 $D$-模理论与共余纯子簇的论证，表明：不存在非零分布能同时满足非突出轨道上的支撑与傅里叶变换支撑条件。
• 该结果确认了 $GL_{2n}(\bbR)$-表示关于 $Sp_{2n}(\bbR)$ 的重数一性质，扩展了此前在 $\bbC$ 与 $p$-进域上的结果。