[论文解读] Invariant Gibbs measures for the 2-d defocusing nonlinear Schrödinger equations

Tadahiro Oh, Laurent Thomann|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文通过使用Hermite多项式和Laguerre多项式进行Wick重正则化，在紧致流形或R²中有界区域上构造了二维聚焦非线性Schrödinger方程的Gibbs测度。证明了当初始数据按Gibbs测度分布时，全局时间解存在，并且解的分布律在时间演化下保持不变，即在所有时刻均保持Gibbs测度不变。

ABSTRACT

We consider the defocusing nonlinear Schrodinger equations on the two-dimensional compact Riemannian manifold without boundary or a bounded domain in $\mathbb{R}^2$. In particular, we discuss the Wick renormalization in terms of the Hermite polynomials and the Laguerre polynomials and construct the Gibbs measures corresponding to the Wick ordered Hamiltonian. Then, we construct global-in-time solutions with initial data distributed according to the Gibbs measure and show that the law of the random solutions, at any time, is again given by the Gibbs measure.

研究动机与目标

• 将Gibbs测度的构造推广至紧致黎曼流形或R²中有界区域上的二维聚焦非线性Schrödinger方程。
• 通过Hermite多项式和Laguerre多项式严格定义Wick有序哈密顿量以实现重正则化。
• 当初始数据按Gibbs测度分布时，建立全局时间解的存在性。
• 证明在任意时刻t，解的分布律仍服从相同的Gibbs测度，从而证明其不变性。

提出的方法

• 在Hilbert空间上的高斯测度背景下，利用Hermite多项式进行Wick重正则化。
• 应用Laguerre多项式将Gibbs测度表示为Wick有序哈密顿量的形式。
• 将Gibbs测度构造为形式上与exp(−H_Wick)成比例的概率测度，其中H_Wick为重正化后的哈密顿量。
• 运用随机分析与PDE技巧处理二维中非线性项的奇异性质。
• 通过极限论证，证明Gibbs测度在非线性Schrödinger方程流下保持不变。
• 依赖于紧致流形上拉普拉斯算子的谱理论及相应的Hermite展开进行构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在紧致流形或R²中有界区域上为二维聚焦非线性Schrödinger方程构造Gibbs测度？
• RQ2 如何通过Hermite多项式和Laguerre多项式实现Wick序化，以在此背景下对哈密顿量进行重正则化？
• RQ3 当初始数据按所构造的Gibbs测度分布时，全局解是否存在？
• RQ4 Gibbs测度是否在非线性Schrödinger方程的时间演化下保持不变？

主要发现

• Gibbs测度通过Hermite多项式和Laguerre多项式展开，与Wick有序哈密顿量相关联而构造。
• 该构造适用于紧致黎曼流形或R²中有界区域上的二维聚焦非线性Schrödinger方程。
• 对于从Gibbs测度中几乎必然抽取的初始数据，全局时间解存在。
• 在任意固定时刻t，解的分布律仍服从相同的Gibbs测度，从而确认其在流下的不变性。
• 通过涉及正则化方程的极限过程及分布收敛性，建立了不变性。
• 该结果表明，Gibbs测度在非线性Schrödinger方程的动力学下具有统计平衡性质。