[论文解读] Invariant operators on manifolds with almost Hermitian symmetric structures, II. Normal Cartan connections

Andreas Čap, Jan Slovák+1 more|ArXiv.org|Mar 9, 1995

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用 17

一句话总结

本文证明了在不允许可除 torsion 的线性联络的几乎 Hermitian 对称结构上，存在且唯一存在正规 Cartan 联络。通过基于曲率的显式通用公式构造这些典范联络，作者将 Ochiai 的结果推广至非可除 torsion 的情形，为这类几何结构上的不变微分几何提供了系统的方法。

ABSTRACT

In the first part of this series of papers we developed the invariant differentiation with respect to a Cartan connection, we described this procedure in the terms of the underlying principal connections, and we discussed applications of this theory to the construction of natural operators. In this part we will extend the results of \cite{Ochiai, 70} on the existence and the uniqueness of the so called normal Cartan connections on manifolds with almost Hermitian symmetric structures to first order structures which do not admit a torsion free linear connection. Moreover, for each of these structures we obtain explicit (universal) formulae for these canonical connections in the terms of the curvatures of the underlying linear connections.

研究动机与目标

• 将 Ochiai 关于正规 Cartan 联络的结果推广至不允许可除 torsion 线性联络的第一阶结构。
• 基于底层线性联络的曲率，构造正规 Cartan 联络的显式通用公式。
• 为具有调和 torsion 的几乎拉格朗日和几乎旋量结构建立唯一正规 Cartan 联络的存在性。
• 利用 Cartan 联络为几乎 Hermitian 对称结构上的流形提供不变微分几何的系统框架。
• 通过延拓和曲率形变，将不变算子理论推广至局部平坦或可除 torsion 之外的情形。

提出的方法

• 利用 $B_0$-结构的一阶延拓，构造一个具有典范 Cartan 联络的主 $B$-丛。
• 应用本系列第一部分发展出的不变微分计算方法，推导出正规 Cartan 联络的通用公式。
• 通过张量 $\Gamma$ 的曲率形变，修正线性联络，使得诱导的 Cartan 联络满足正规性条件 $\partial^*\bar{\kappa}_0 = 0$。
• 利用曲率分量的迹和对称性，推导出形变张量 $\Gamma$ 关于调和线性联络 $\gamma$ 的 Ricci 曲率的显式公式。
• 利用李代数分次 $\mathfrak{g} = \mathfrak{g}_{-1} \oplus \mathfrak{g}_0 \oplus \mathfrak{g}_1$ 定义结构群并分析曲率分量。
• 对曲率应用 $\partial^*$-算子以强制实现正规性，从而导出由所推导的 $\Gamma$-公式求解的方程组。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不允许可除 torsion 线性联络的几乎 Hermitian 对称结构上，是否存在唯一的正规 Cartan 联络？
• RQ2 能否基于底层线性联络的曲率，推导出正规 Cartan 联络的显式通用公式？
• RQ3 如何通过基于曲率的线性联络形变实现正规性条件 $\partial^*\bar{\kappa}_0 = 0$？
• RQ4 具有调和 torsion 的几乎拉格朗日和几乎旋量结构的典范 Cartan 联络具有何种结构？
• RQ5 第一阶 $B_0$-结构的延拓如何导致一个可接受唯一正规 Cartan 联络的典范 $B$-结构？

主要发现

• 对于维度大于 2 的流形上具有调和 torsion 的几乎拉格朗日结构，存在唯一的正规 Cartan 联络 $\omega = \tilde{\gamma} - \Gamma \circ \theta_{-1}$，其中 $\Gamma$ 由调和线性联络 $\gamma$ 的 Ricci 曲率确定。
• 几乎拉格朗日情形的形变张量 $\Gamma$ 显式给出为 $\Gamma_{(pq)(kl)} = \frac{1}{m(m+1)-2}(m\operatorname{Tr}(R)_{(pq)(kl)} + \operatorname{Tr}(R)_{(pk)(ql)} + \operatorname{Tr}(R)_{(pl)(qk)})$。
• 对于几乎旋量情形，唯一的正规 Cartan 联络为 $\omega = \tilde{\gamma} - \Gamma \circ \theta_{-1}$，其中 $\Gamma_{[pq][kl]} = \frac{1}{m(m-1)-2}(m\operatorname{Tr}(R)_{[pq][kl]} + \operatorname{Tr}(R)_{[pk][ql]} - \operatorname{Tr}(R)_{[pl][qk]})$。
• 该构造确保曲率分量 $\partial^*\bar{\kappa}_0$ 全局消失，满足 Cartan 联络的正规性条件。
• 该方法提供了与局部选择无关、适用于所有具有调和 torsion 的此类结构的通用、基于曲率的正规 Cartan 联络公式。
• 通过去除可除 torsion 的假设，该结果推广了 Ochiai 的工作，从而将正规 Cartan 联络的适用范围扩展至更广泛的几何结构类别。