[论文解读] Invariants of links and 3-manifolds from graph configurations

Christine Lescop|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文通过图配置上的配置空间积分，构建了链和3-流形的拓扑不变量，利用传播子和庞特里亚金对偶性推广了 linking number。它为框架式辫子定义了一个普遍的有限型不变量 Z，并证明了其函子性与不变性，建立了微分拓扑、图配置与量子不变量之间的深刻联系。

ABSTRACT

In this self-contained book, following Edward Witten, Maxim Kontsevich, Greg Kuperberg and Dylan Thurston, we define an invariant Z of framed links in rational homology 3-spheres, and we study its properties. The invariant Z, which is often called the perturbative expansion of the Chern-Simons theory, is valued in a graded space generated by Jacobi diagrams. It counts embeddings of this kind of unitrivalent graphs in the ambient manifold, in a sense that is explained in the book, using integrals over configuration spaces, or, in a dual way, algebraic intersections in the same configuration spaces. When the ambient manifold is the standard 3-sphere, the invariant Z is a universal Vassiliev link invariant studied by many authors including Guadagnini, Martellini and Mintchev, Bar-Natan, Bott and Taubes, Altschüler and Freidel, Thurston and Poirier... This book contains a more flexible definition of this invariant. We extend Z to a functor on a category of framed tangles in rational homology cylinders and we describe the behaviour of this functor under various operations including some cabling operations. We also compute iterated derivatives of our extended invariant with respect to the discrete derivatives associated to the main theories of finite type invariants. Together with recent results of Massuyeau and Moussard, our computations imply that the restriction of Z to rational homology 3-spheres (equipped with empty links) contains the same information as the Le-Murakami-Ohtsuki LMO invariant for these manifolds. They also imply that the degree one part of Z is the Casson-Walker invariant.

研究动机与目标

• 通过图配置将 linking number 推广为流形之间映射的度数。
• 使用配置空间积分为框架式辫子定义一个普遍的有限型不变量 Z。
• 建立 Z 在环境同胚与辫子复合下的函子性与不变性。
• 通过庞特里亚金对偶性与传播形式，将不变量 Z 与庞特里亚金类及有理不变量联系起来。
• 使用横截链与上同调，提供 Z 中异常的离散代数描述。

提出的方法

• 使用 3-流形中点的配置空间来定义图图示上的积分。
• 应用传播形式（对偶于闭链）来定义通过庞特里亚金对偶性产生不变量的积分。
• 通过爆破对角线和配置空间的紧化来处理奇点。
• 通过在配置空间中对子流形的微分形式进行积分，构造普遍不变量 Z。
• 使用管状邻域和具有受控支集的闭形式来定义对偶同构。
• 应用同调代数与雅可比图上的双代数结构，分析 Z 的代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 3-流形中的图配置下，将 linking number 推广为高阶不变量？
• RQ2 在何种条件下，配置空间积分能定义出与选择无关的拓扑不变量？
• RQ3 Z 在辫子复合与环境同胚下如何表现？
• RQ4 不变量空间的代数结构是什么？它与雅可比图和有限型不变量有何关系？
• RQ5 Z 中的异常（β 和 α）如何与上同调障碍及横截链相关？

主要发现

• 当传播形式为齐次且满足某些横截性条件时，不变量 Z 是良定义的，且与传播形式的选择无关。
• 异常 β 被证明是 H^1(M; R) 中的一个良定义的上同调类，并通过横截链提供了离散代数定义。
• 不变量 Z 在框架式长辫子的范畴上是函子性的，可扩展为一个张量函子 Zf。
• 该构造产生了一个框架式辫子的普遍有限型不变量，其取值在雅可比图的空间中。
• 通过与闭链对偶的配置空间积分，将 linking 映射的度数推广为高阶不变量。
• 通过 α-对偶于子流形的微分形式，构造了庞特里亚金对偶同构，从而通过积分定义了代数交点。