[论文解读] Inverse Potential Problems for Divergence of Measures with Total Variation Regularization

Laurent Baratchart, Cristóbal Villalobos Guillén+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 43被引用 8

一句话总结

本文研究三维空间中向量测度的散度的反演电势问题，采用总变差正则化方法，从磁场测量数据中重建磁化分布。在正则化参数和噪声趋于零的条件下，建立了稀疏或单向磁化可唯一恢复的条件，数值结果验证了其收敛至真实偶极子的特性。

ABSTRACT

We study inverse problems for the Poisson equation with source term the divergence of an $\\mathbf{R}^3$-valued measure, that is, the potential $\\Phi$ satisfies $$ \\Delta \\Phi= \ ext{div} \\boldsymbol{\\mu}, $$ and $\\boldsymbol{\\mu}$ is to be reconstructed knowing (a component of) the field grad $\\Phi$ on a set disjoint from the support of $\\boldsymbol{\\mu}$. Such problems arise in several electro-magnetic contexts in the quasi-static regime, for instance when recovering a remanent magnetization from measurements of its magnetic field. We develop methods for recovering $\\boldsymbol{\\mu}$ based on total variation regularization. We provide sufficient conditions for the unique recovery of $\\boldsymbol{\\mu}$, asymptotically when the regularization parameter and the noise tend to zero in a combined fashion, when it is uni-directional or when the magnetization has a support which is sparse in the sense that it is purely 1-unrectifiable. Numerical examples are provided to illustrate the main theoretical results.

研究动机与目标

• 开发一种框架，用于从其支撑集外部的磁场测量数据中重建三维磁化分布。
• 解决涉及向量测度散度的反演电势问题的不适定性。
• 建立在通过测度的总变差进行正则化时，磁化可被唯一恢复的充分条件。
• 探讨几何与测度论上的稀疏性概念——特别是纯1-可rectifiable集与单向支撑——以提升重建保真度。
• 通过在偶极子源的离散化模型上使用FISTA和In-Crowd算法进行数值示例，验证理论结果。

提出的方法

• 将反问题表述为求解 ΔΦ = div μ，其中 μ ∈ M(S)³，μ 是需从与 S 不相交的集合 Q 上 grad Φ 的测量值重建的向量测度。
• 采用总变差正则化稳定反问题，最小化包含数据保真度和 μ 的总变差的泛函。
• 应用泊松-霍奇分解，将磁场表示为无旋分量与无散分量之和，从而与无源测度建立联系。
• 引入 S-静默磁化（在 S 外场强为零）的概念，并利用纤细集（三维勒贝格测度为零且补集有无穷多连通分支）的性质，确保在无散条件下实现唯一性。
• 通过在偶极子离散网格上使用 FISTA 和 In-Crowd 算法实现数值重建，正则化参数 λ 控制稀疏性。
• 假设前向算子 A: μ ↦ v·b(μ)|Q 在 S-静默类上有界且单射，确保解的可识别性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在支撑集 S 的何种几何与测度论条件下，可从其外部的磁场测量数据唯一恢复磁化 μ？
• RQ2 总变差正则化如何在无穷维函数空间中实现对稀疏或单向磁化分布的恢复？
• RQ3 纤细集性质（三维勒贝格测度为零，补集有无穷多连通分支）在确保 S-静默磁化必为无散方面起什么作用？
• RQ4 当正则化参数 λ 与噪声水平 ε 同时趋于零时，重建是否能收敛至真实的偶极子构型？
• RQ5 磁化结构特性（如纯1-可rectifiable 或分段单向）如何影响重建的收敛性与准确性？

主要发现

• 对于紧致纤细集 S 上有限个点偶极子，当 λ → 0 且噪声 → 0 时，重构测度 μλ,e 在总变差范数下收敛于真实偶极子强度。
• 在偶极子位置邻域球体上，重构测度 μλ,e 的总变差收敛于真实偶极矩：|μλ,e|(B(x(j),r)) → |vj| 当 λ, ε → 0。
• 在真实偶极子邻域之外，重构测度 μλ,e 的总变差趋于零：|μλ,e|(S∖∪jB(x(j),r)) → 0 当 λ, ε → 0。
• 重构测度 μλ,e 的支撑包含于有限个解析曲面、曲线与点的并集中，表明解具有结构上的简洁性。
• 对20个偶极子的数值重构显示，在 λ = 10−12 时，与真实 μ0 的相对总变差距离为 0.004，证实了收敛性。
• 对于四个不相交分量上的分段单向磁化，相对距离在 λ = 10−14 时降至 0.015，表明在结构假设下具有鲁棒性。