[论文解读] Invertibility of adjacency matrices for random $d$-regular graphs

Jiaoyang Huang|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 26被引用 14

一句话总结

该论文通过在有限域 $\mathbb{F}_p$ 上分析奇异性，证明了对于固定的 $d \geq 3$，$n$ 个顶点的随机 $d$-正则有向或无向图的邻接矩阵以高概率为非奇异矩阵。关键创新在于结合了等分布向量的局部中心极限定理与非等分布向量的大偏差估计，从而得到一个多项式衰减的奇异性概率 $n^{-\mathfrak{d}}$（其中 $\mathfrak{d} > 0$）。该结果解决了 Frieze 和 Vu 提出的一个开放问题。

ABSTRACT

Let $d\geq 3$ be a fixed integer and $A$ be the adjacency matrix of a random $d$-regular directed or undirected graph on $n$ vertices. We show there exist constants $\mathfrak d>0$, \begin{align*} {\mathbb P}( ext{$A$ is singular in $\mathbb R$})\leq n^{-\mathfrak{d}}, \end{align*} for $n$ sufficiently large. This answers an open problem by Frieze [12] and Vu [28,19]. The key idea is to study the singularity probability of adjacency matrices over a finite field ${\mathbb F}_p$. The proof combines a local central limit theorem and a large deviation estimate.

研究动机与目标

• 解决 Frieze 和 Vu 提出的关于固定 $d \geq 3$ 时随机 $d$-正则图邻接矩阵奇异性问题的开放问题。
• 克服 $d$-正则图邻接矩阵中条目之间存在依赖关系所带来的挑战，这使得传统奇异性分析变得复杂。
• 建立一个关于奇异性概率的定量界，其随 $n$ 多项式衰减，而非指数衰减或幂律衰减。
• 提出一种在有限域 $\mathbb{F}_p$ 上研究奇异性的新方法，以更好地控制零向量的算术结构。
• 通过利用有限域技术与向量分解，提供邻接矩阵在 $\mathbb{R}$ 上奇异性概率的精确估计。

提出的方法

• 该方法根据向量在剩余类中的分布，将 $\mathbb{F}_p$ 上零向量的空间划分为等分布类与非等分布类。
• 对于等分布向量，应用局部中心极限定理来估计存在此类零向量的邻接矩阵数量。
• 对于非等分布向量，使用大偏差估计来控制具有此类零向量的矩阵数量。
• 该分析涉及在 $\mathbb{F}_p^d$ 中对行走路径与多重集配置进行计数，利用多项式与阶乘界来控制增长。
• 证明利用了随机 $d$-正则图的配置模型，并应用组合估计来控制每类矩阵的总贡献。
• 最终的奇异性概率界通过结合所有向量类的估计，并对 $p$-进结构使用并集界得到。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定的 $d \geq 3$，随机 $d$-正则有向或无向图的邻接矩阵奇异性的渐近概率是多少？
• RQ2 尽管条目之间缺乏独立性，是否仍能有效分析 $d$-正则图的奇异性问题？
• RQ3 在有限域 $\mathbb{F}_p$ 上研究奇异性是否能比在 $\mathbb{R}$ 上直接分析得到更紧的界？
• RQ4 能否利用零向量的算术结构，在 $d$-正则情形下获得定量的奇异性估计？
• RQ5 是否存在 $d$-正则邻接矩阵奇异性概率的多项式衰减上界？

主要发现

• 对于足够大的 $n$，$n$ 个顶点的随机 $d$-正则有向或无向图的邻接矩阵奇异性概率至多为 $n^{-\mathfrak{d}}$，其中 $\mathfrak{d} > 0$。
• 奇异性概率随 $n$ 多项式衰减，优于以往的指数衰减或幂律衰减界。
• 该方法通过在有限域 $\mathbb{F}_p$ 上分析问题，成功处理了 $d$-正则图中条目的依赖结构。
• 等分布与非等分布零向量类分别通过局部中心极限定理与大偏差估计进行处理。
• 所有向量类的总贡献被控制在 $\operatorname{O}(1) \cdot p^{2d}/n^{d-2}$ 以内，当满足条件 $p \ll n^{(d-2)/(5d-6)}$ 时，该值为 $o(1)/n^{d-2}$，从而导出最终界。
• 该结果解决了随机矩阵理论与随机图论中长期存在的一个开放问题，证实了 $d$-正则邻接矩阵以高概率渐近非奇异。