[论文解读] Irreducibility of Moduli Spaces of Vector Bundles on Birationally Ruled Surfaces

Charles Walter|ArXiv.org|Nov 16, 1993

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 22

一句话总结

该论文在极化的一个数值条件下，建立了双有理规则曲面上半稳定向量丛模空间的不可约性与正规性。通过证明优先层堆栈是光滑且不可约的，并表明半稳定层构成其内部的一个开子堆栈，作者推导出模概形是不可约且正规的，且对有理曲面而言，稳定部分是光滑且有理连通的。

ABSTRACT

Let $S$ be a birationally ruled surface. We show that the moduli schemes $M_S(r,c_1,c_2)$ of semistable sheaves on $S$ of rank $r$ and Chern classes $c_1$ and $c_2$ are irreducible for all $(r,c_1,c_2)$ provided the polarization of $S$ used satisfies a simple numerical condition. This is accomplished by proving that the stacks of prioritary sheaves on $S$ of fixed rank and Chern classes are smooth and irreducible.

研究动机与目标

• 建立双有理规则曲面上半稳定向量丛模空间的不可约性。
• 将已知的在 P² 和 P¹×P¹ 上的不可约性结果推广至所有负 Kōdaira 维数的光滑射影曲面。
• 在极化的数值条件下，证明模概形是正规的，且其稳定部分是光滑的。
• 证明优先层堆栈是光滑且不可约的，作为关键的技术基础。
• 证明一般半稳定层是局部自由的，并且对有理曲面而言，稳定模空间是有理连通的。

提出的方法

• 通过优先层的概念（即对所有 p∈C，满足 Ext²(E, E(−fp)) = 0）改编了 Ellingsrud 和 Strømme 的方法。
• 通过在 Picard 数上归纳并利用点上的爆破，证明了双有理规则曲面上优先层堆栈的不可约性与光滑性。
• 在条件 H⋅(KS+f)<0 下，证明所有 H-半稳定的层都是优先层，从而将模堆栈嵌入优先层堆栈中。
• 通过 Quot 概形的 GIT 商构造：模空间是光滑且不可约的 Quot 概形对 SL(Hm) 的 GIT 商，从而保证了正规性与不可约性。
• 利用 Simpson 的极化在 Quot 概形上构造模空间为商堆栈，借助普遍族与堆论技术。
• 通过从 Jac(C)×Jac(C)×P^m 到稳定模空间的支配性、一般有限的映射，确立了稳定部分的有理连通性，其中 m 明确定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种极化条件下，双有理规则曲面上半稳定向量丛模空间是不可约的？
• RQ2 能否证明双有理规则曲面上优先层堆栈是光滑且不可约的？
• RQ3 条件 H⋅(KS+f)<0 是否能保证所有 H-半稳定的层都是优先层？
• RQ4 此类曲面上半稳定层的模概形是否正规，其稳定部分是否光滑？
• RQ5 稳定模空间的几何结构如何？对有理曲面而言，它是否是有理连通的？

主要发现

• 当模空间 M_{S,H}(r,c₁,c₂) 非空且极化满足 H⋅(K_S + f) < 0 时，其为不可约且正规的。
• 参数化稳定层的开子概形 M_{S,H}^s(r,c₁,c₂) 是光滑的。
• 对所有 r≥2，c₁∈NS(S)，c₂∈Z，优先层堆栈 Priort_S(r,c₁,c₂) 是光滑且不可约的。
• 对有理曲面，通过从 Jac(C)×Jac(C)×P^m 到稳定模空间的支配性、一般有限的映射，证明了稳定模空间是有理连通的，其中 m=2rc₂−(r−1)c₁+(r²−2)g−r²+1。
• 在 M_{S,H}(r,c₁,c₂) 中，一般 H-半稳定的层是局部自由的。
• 所有双有理规则曲面上均存在满足 H⋅(K_S + f) < 0 的 ample 除子，如通过 Picard 数的归纳法所明确构造的。