[论文解读] Irreducibility of the Lawrence-Krammer representation of the BMW algebra of type $A_{n-1}$, PhD thesis California Institute of Technology 2008

Claire Levaillant|ArXiv.org|Jan 25, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 6

一句话总结

本博士论文在 $\mathbb{C}(r,l)$ 上建立了类型 $A_{n-1}$ 的 BMW 代数的 Lawrence-Krammer 表示的不可约性，证明当 $n \geq 4$ 时，除特定参数值 $l \in \{r, -r^3, \frac{1}{r^{n-3}}, -\frac{1}{r^{n-3}}, \frac{1}{r^{2n-3}}\}$ 外，该表示是不可约的。证明方法基于表示论、不变子空间以及通过表示空间中向量系构造最小不变子模。

ABSTRACT

Given two nonzero complex parameters $l$ and $m$, we construct by the mean of knot theory a matrix representation of size $\chl$ of the BMW algebra of type $A_{n-1}$ with parameters $l$ and $m$ over the field $\Q(l,r)$, where $m=\unsurr-r$. As a representation of the braid group on $n$ strands, it is equivalent to the Lawrence-Krammer representation that was introduced by Lawrence and Krammer to show the linearity of the braid groups. We prove that the Lawrence-Krammer representation is generically irreducible, but that for some values of the parameters $l$ and $r$, it becomes reducible. In particular, we show that for these values of the parameters $l$ and $r$, the BMW algebra is not semisimple. When the representation is reducible, the action on a proper invariant subspace of the Lawrence-Krammer space must be a Hecke algebra action. It allows us to describe the invariant subspaces when the representation is reducible.

研究动机与目标

• 确定在 $\mathbb{Q}(l,r)$ 上，类型 $A_{n-1}$ 的 BMW 代数的 Lawrence-Krammer 表示的不可约性状态。
• 识别所有使表示变为可约的参数值 $l$ 和 $m = \frac{1}{r} - r$。
• 通过不变子空间和显式向量构造，提供通用不可约性结果的新证明。
• 描述当 $n = 4, 5, 6$ 时，表示空间中最小不变子空间的结构。
• 建立唯一性定理，并完整描述当 $l = r$ 时的不变子空间结构。

提出的方法

• 将 Lawrence-Krammer 表示构造为 $\mathbb{Q}(l,r)$ 上类型 $A_{n-1}$ 的 BMW 代数的 $\frac{n(n-1)}{2}$ 次表示。
• 以 Iwahori-Hecke 代数 $\mathcal{H}_{F,r^2}(n)$ 为框架，假设其半单性，条件为 $r^{2k} \neq 1$ 对所有 $k = 1,\dots,n$ 成立。
• 利用显式向量系 $w_i^{(n)}$ 和 $v_i^{(n)}$，为 $n = 4,5,6$ 构造最小不变子模的张成。
• 分析生成元 $X_{ij}$ 对基向量 $w_{ij}$ 的作用，推导递推关系和不变性条件。
• 通过计算子矩阵（例如大小为 5）的行列式，检验线性无关性和不可约性。
• 对 $l$-值进行分类讨论，特别是 $l = r$、$l = -r^3$、$l = \pm \frac{1}{r^{n-3}}$ 和 $l = \frac{1}{r^{2n-3}}$，以检测可约性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $l$ 和 $m = \frac{1}{r} - r$ 值，类型 $A_{n-1}$ 的 BMW 代数 $B(A_{n-1})$ 的 Lawrence-Krammer 表示是可约的？
• RQ2 当 $n = 4,5,6$ 时，Lawrence-Krammer 表示中最小不变子空间的结构是什么？
• RQ3 向量 $w_i^{(n)}$ 和 $v_i^{(n)}$ 如何张成不可约子表示，它们在代数生成元作用下的变换规则是什么？
• RQ4 能否在不依赖 Maple 等计算工具的情况下证明主要的不可约性结果？
• RQ5 当 $l = r$ 时，$\mathcal{V}^{(n)}$ 的不变子空间的完整描述是什么，它与共轭表示有何关系？

主要发现

• 在 $\mathbb{C}(r,l)$ 上，类型 $A_{n-1}$ 的 BMW 代数的 Lawrence-Krammer 表示对 $n \geq 4$ 是不可约的，但当 $l \in \{r, -r^3, \frac{1}{r^{n-3}}, -\frac{1}{r^{n-3}}, \frac{1}{r^{2n-3}}\}$ 时除外。
• 当 $n = 4$ 时，表示包含一个由 $w_1^{(4)}, w_2^{(4)}$ 张成的唯一二维不变子空间，以及一个由 $v_1^{(4)}, v_2^{(4)}, v_3^{(4)}$ 张成的三维不变子空间。
• 当 $n = 5$ 时，表示包含一个由 $w_1^{(5)}, w_2^{(5)}, w_3^{(5)}$ 张成的三维不变子空间，以及一个由 $v_1^{(5)}, v_2^{(5)}, v_3^{(5)}$ 张成的三维不变子空间。
• 当 $n = 6$ 时，表示在 $l = \frac{1}{r^9}$ 时包含一个一维不变子空间，在 $l = \frac{1}{r^3}$ 时包含一个五维不变子空间，在 $l = -\frac{1}{r^3}$ 时包含一个九维不变子空间，在 $l = r$ 时包含一个十维不变子空间。
• 当 $l = r$ 时，$\mathcal{V}^{(n)}$ 的唯一不变子空间由 $\sum_{1 \leq i < j \leq n} r^{i+j} w_{ij}$ 张成，且共轭表示不包含在分解中。
• 不可约性证明在不依赖 Maple 的前提下完成，通过代数与组合技巧验证了子模的不变性与维数。