[论文解读] Irreducible Function Bases of Isotropic Invariants of A Third Order Three-Dimensional Symmetric and Traceless Tensor

Yannan Chen, Shenglong Hu+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文证明，任意三阶三维对称无迹张量的最小完整性基同时也是不可约函数基，其四个不变量之间不存在多项式赛济关系——具体而言，2、4、6和10次不变量在代数上是独立的。该结果确立了这些不变量在正交群作用下构成一组最小且代数独立的各向同性不变量。

ABSTRACT

Third order three-dimensional symmetric and traceless tensors play an important role in physics and tensor representation theory. A minimal integrity basis of a third order three-dimensional symmetric and traceless tensor has four invariants with degrees two, four, six and ten respectively. In this paper, we show that any minimal integrity basis of a third order three-dimensional symmetric and traceless tensor is also an irreducible function basis of that tensor, and there is no polynomial syzygy relation among the four invariants of that basis, i.e., these four invariants are algebraically independent.

研究动机与目标

• 确定三阶三维对称无迹张量的最小完整性基是否也是不可约函数基。
• 研究此类基中不变量之间是否存在多项式赛济关系。
• 确立2、4、6和10次这四个基本不变量的代数独立性。
• 将张量不变量理论的见解推广至具有O(3)稳定性性质的基本张量空间。
• 阐明对称无迹张量系统中完整性基与不可约函数基之间的结构关系。

提出的方法

• 利用群表示理论，聚焦正交群O(3)在三阶对称无迹张量空间上的作用。
• 应用有限维实向量空间在紧致群作用下函数基基数的一般上界。
• 采用雅可比行列式判别法证明不变量梯度向量的线性无关性，从而推导出代数独立性。
• 通过反证法：假设不变量之间存在非平凡赛济关系，进而推导出该多项式恒为零。
• 通过多项式映射将不同最小完整性基之间的赛济关系相互转换，表明某一基中存在赛济关系则Smith-Bao基中亦存在。
• 以已知的最小完整性基结果（Smith-Bao, 1997）为基础，用于证明不可约性与独立性。

实验结果

研究问题

• RQ1 三阶三维对称无迹张量的每个最小完整性基是否也是不可约函数基？
• RQ2 任意最小完整性基中2、4、6和10次的四个不变量是否满足任何多项式赛济关系？
• RQ3 最小完整性基中的不变量在实数域上是否代数独立？
• RQ4 各向同性不变量的函数基基数能否通过张量空间维数与群作用维数之差来给出下界？
• RQ5 在最小完整性基的基变换背景下，赛济关系的行为如何？

主要发现

• 任意三阶三维对称无迹张量的最小完整性基同时也是不可约函数基。
• 2、4、6和10次的四个不变量在代数上独立，彼此之间不存在非平凡多项式赛济关系。
• Smith-Bao最小完整性基（包含2、4、6、10次不变量）是代数独立的。
• 该证明依赖于不变量梯度映射的雅可比行列式非零，从而推出梯度的线性无关性。
• 任一最小完整性基中若存在赛济关系，则Smith-Bao基中亦存在，但这是不可能的，因此不存在任何赛济关系。
• 该结果证实，最小完整性基不仅完备，且在代数意义上也是最小的，不包含冗余关系。