[论文解读] Is it possible to formulate least action principle for dissipative systems?

Qiuping A. Wang, Wang Ru|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2012

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 24被引用 15

一句话总结

本文通过将阻尼物体及其能量接收环境视为一个单一的保守复合系统，提出了一种耗散系统的一般化最小作用量原理。通过构建包含环境能量的总哈密顿量，并推导出局部拉格朗日量 $ L = K_1 - V_1 - E_d $，该方法利用标准变分法恢复了正确的阻尼运动方程，解决了长期以来非保守系统中作用量原理的难题。

ABSTRACT

A longstanding open question in classical mechanics is to formulate the least action principle for dissipative systems. In this work, we give a general formulation of this principle by considering a whole conservative system including the damped moving body and its environment receiving the dissipated energy. This composite system has the conservative Hamiltonian $H=K_1+V_1+H_2$ where $K_1$ is the kinetic energy of the moving body, $V_1$ its potential energy and $H_2$ the energy of the environment. The Lagrangian can be derived by using the usual Legendre transformation $L=2K_1+2K_2-H$ where $K_2$ is the total kinetic energy of the environment. An equivalent expression of this Lagrangian is $L=K_1-V_1-E_d$ where $E_d$ is the energy dissipated by the friction from the moving body into the environment from the beginning of the motion. The usual variation calculus of least action leads to the correct equation of the damped motion. We also show that this general formulation is a natural consequence of the virtual work principle.

研究动机与目标

• 解决经典力学中耗散系统最小作用量原理形式化问题的长期挑战。
• 通过将能量耗散环境作为系统不可分割的部分，恢复最小作用量原理的普遍性。
• 推导出一个唯一且与能量相连的拉格朗日量，以保持哈密顿、拉格朗日和哈密顿-雅可比形式的统一。
• 证明当显式考虑环境能量时，变分原理依然有效。
• 表明该形式化方法与虚功原理一致，并可推广至摩擦以外的其他能量耗散机制。

提出的方法

• 构建一个由阻尼物体及其环境组成的复合保守系统，总哈密顿量为 $ H = K_1 + V_1 + H_2 $，其中 $ H_2 $ 为环境的能量。
• 通过勒让德变换推导拉格朗日量：$ L = 2K_1 + 2K_2 - H $，简化后得 $ L = K_1 - V_1 - E_d $，其中 $ E_d $ 为耗散至环境的总能量。
• 对拉格朗日量 $ L = K_1 - V_1 - E_d $ 应用标准变分法，确保 $ \delta A = \int_0^{t_b} \delta L \, dt = 0 $，从而导出正确的阻尼运动方程。
• 利用达朗贝尔虚功原理推导相同的变分原理，验证其与经典力学基本原理的一致性。
• 通过显式表达 $ H_2 $ 而非使用非局部的 $ E_d $，确保拉格朗日量在时间上是局域的，避免变分中引入虚假的高阶项。
• 将该方法推广至任意能量耗散耦合机制，如电磁辐射或声波辐射。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过将环境作为系统的一部分，一致地为耗散系统形式化最小作用量原理？
• RQ2 是否存在一个唯一且与能量相连的拉格朗日量，用于阻尼运动并保持标准变分法的有效性？
• RQ3 将环境能量 $ H_2 $ 显式纳入后，如何解决以往形式化中非唯一性和缺乏能量关联的问题？
• RQ4 在存在耗散力的情况下，所推导的作用量原理是否与虚功原理一致？
• RQ5 该形式化方法能否推广至摩擦以外的其他能量耗散机制，如辐射或声波发射？

主要发现

• 所提出的拉格朗日量 $ L = K_1 - V_1 - E_d $ 通过标准变分法成功重现了正确的阻尼运动方程。
• 该形式化确保作用量 $ A = \int_0^{t_b} L \, dt $ 满足 $ \delta A = 0 $，从而恢复了耗散系统中的最小作用量原理。
• 通过显式表达环境能量 $ H_2 $ 而非使用非局部的 $ E_d $，避免了变分中引入的非物理高阶项，消除了非局域依赖。
• 所推导的拉格朗日量是唯一且与能量相连的，不同于以往使用准拉格朗日量（如 $ e^{\zeta t}(K - V) $）的方法。
• 该形式化与虚功原理一致，通过从 $ \int (f_c + f_d - m\ddot{x}) \delta x \, dt = 0 $ 推导出 $ \delta A = 0 $ 得到验证。
• 该方法具有普适性，适用于任何能量耗散机制，不限于摩擦，如电磁辐射或声波发射。