[论文解读] Isometric actions of simple groups and transverse structures: The integrable normal case

Raúl Quiroga-Barranco|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文建立了连通非紧致单李群在具有稠密轨道的伪黎曼流形上的等距作用的全局刚性结果，表明当且仅当这些作用同时保持一个伪黎曼度量和一个横截黎曼结构时，它们等价于在双陪集空间 $(G \times K\backslash H)/\Gamma$ 上的作用。关键贡献在于通过几何与代数条件对这些作用进行刻画，当法丛可积时，其切空间上的李代数结构同构于 $\mathfrak{so}(p,q+1)$ 或 $\mathfrak{so}(p+1,q)$。

ABSTRACT

For actions with a dense orbit of a connected noncompact simple Lie group $G$, we obtain some global rigidity results when the actions preserve certain geometric structures. In particular, we prove that for a $G$-action to be equivalent to one on a space of the form $(G imes K\backslash H)/Γ$, it is necessary and sufficient for the $G$-action to preserve a pseudo-Riemannian metric and a transverse Riemannian metric to the orbits. A similar result proves that the $G$-actions on spaces of the form $(G imes H)/Γ$ are characterized by preserving transverse parallelisms. By relating our techniques to the notion of the algebraic hull of an action, we obtain infinitesimal Lie algebra structures on certain geometric manifolds acted upon by $G$.

研究动机与目标

• 确定等距 $G$-作用在流形上时，其与双陪集空间 $(G \times K\backslash H)/\Gamma$ 上作用等价的全局刚性条件。
• 通过研究轨道法丛 $T\mathcal{O}^\perp$ 的可积性，分析 $G$-轨道的横截几何。
• 将保持横截黎曼结构的 $G$-作用刻画为与双陪集作用等价（至多有限覆盖）。
• 通过曲率型表示建立此类流形切空间上的无穷小李代数结构。

提出的方法

• 使用代数包络概念将几何作用与代数群结构联系起来。
• 应用伪黎曼度量与横截黎曼结构理论，分析轨道叶状结构。
• 证明当法丛 $T\mathcal{O}^\perp$ 可积时，存在有限覆盖下的全局分解 $\widehat{M} \cong (G \times \widetilde{N})/\Gamma$。
• 构造一个曲率型同态 $T_c: \wedge^2 \mathbb{R}^{p,q} \to \mathfrak{so}(p,q)$，以在 $T_xM$ 上定义李代数结构。
• 通过矩阵实现与度量 $I_{p,q}(c)$，将切空间李代数识别为同构于 $\mathfrak{so}(p,q+1)$ 或 $\mathfrak{so}(p+1,q)$。
• 在复化李代数中使用舒尔引理，对所有 $\mathfrak{so}(p,q)$-模同态 $\wedge^2 \mathbb{R}^{p,q} \to \mathfrak{so}(p,q)$ 进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，流形上具有稠密轨道的等距 $G$-作用等价于在 $(G \times K\backslash H)/\Gamma$ 上的双陪集作用？
• RQ2 对 $G$-轨道的法丛 $T\mathcal{O}^\perp$ 的可积性如何影响流形的全局结构？
• RQ3 流形上何种几何结构可确保 $G$-作用保持横截黎曼度量并导致全局双陪集结构？
• RQ4 能否在具有此类作用的流形切空间上自然地定义李代数结构？若能，其同构类型为何？
• RQ5 曲率型同态 $T_c$ 在确定流形的无穷小结构中起何种作用？

主要发现

• 若流形 $M$ 上的 $G$-作用具有稠密轨道，保持有限体积完备的伪黎曼度量，且 $G$-轨道非退化，则当法丛 $T\mathcal{O}^\perp$ 可积时，该作用在有限覆盖下全局等价于 $(G \times \widetilde{N})/\Gamma$ 上的作用。
• 存在横截黎曼结构于 $G$-轨道，可刻画（至多有限覆盖）与 $(G \times K\backslash H)/\Gamma$ 上作用同构的 $G$-作用。
• 当法丛 $T\mathcal{O}^\perp$ 可积且作用具有稠密轨道时，$M$ 的万有覆盖空间在 $G$-等变等距下允许分解为 $(G \times \widetilde{N})/\Gamma$。
• 对任意 $x \in M$，其切空间 $T_xM$ 携带一个自然的李代数结构，同构于 $\mathfrak{so}(p,q+1)$ 或 $\mathfrak{so}(p+1,q)$，该结构由曲率型同态 $T_c$ 导出。
• 所有 $\mathfrak{so}(p,q)$-模同态 $\wedge^2 \mathbb{R}^{p,q} \to \mathfrak{so}(p,q)$ 均形如 $T_c$，其中 $c \in \mathbb{R}$，此结论通过复化代数上的舒尔引理得到证明。
• 切空间上的李代数结构由矩阵表示 $X + u \mapsto \begin{pmatrix} X & c u \\ u^t I_{p,q} & 0 \end{pmatrix}$ 生成，对应度量 $I_{p,q}(c)$，从而确认其同构于 $\mathfrak{so}(p+q+1, \text{符号})$。