[论文解读] Isomorphisms considered as equalities: Projecting functions and enhancing partial application through an implementation of λ+

Alejandro Díaz-Caro, Pablo E. Martínez López|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文提出了一种λ+的类型安全实现，λ+是一种带对的简单类型λ-演算，其中同构类型被视为相等，通过模等价关系的重写系统实现。通过将λ+扩展为支持自然数和通过Bekic定理实现的一般递归，并利用柯里化和对的结合律，该方法通过函数投影和增强的部分应用实现了新颖的程序变换。

ABSTRACT

We propose an implementation of λ+, a recently introduced simply typed lambda-calculus with pairs where isomorphic types are made equal. The rewrite system of λ+ is a rewrite system modulo an equivalence relation, which makes its implementation non-trivial. We also extend λ+ with natural numbers and general recursion and use Bekic's theorem to split mutual recursions. This splitting, together with the features of λ+, allows for a novel way of program transformation by reduction, by projecting a function before it is applied in order to simplify it. Also, currying together with the associativity and commutativity of pairs gives an enhanced form of partial application.

研究动机与目标

• 解决实现λ+的挑战，其中同构类型被视为相等，这需要一个模等价关系的重写系统。
• 通过自然数和一般递归扩展λ+，以支持实用的编程构造。
• 通过在应用前投影函数，利用类型同构简化计算，实现新颖的程序变换。
• 利用对的结合律和交换律增强部分应用，提升函数组合和代码重用能力。

提出的方法

• 设计一个模类型同构的重写系统，使类型检查和规约过程中将同构类型视为相等。
• 使用Bekic定理将互递归分解为嵌套递归，将自然数和一般递归集成到λ+中。
• 利用柯里化和对的代数性质（结合律和交换律）实现更灵活和表达力更强的部分应用。
• 在应用前投影函数以简化其结构，利用类型同构在规约过程中变换和优化代码。
• 通过尊重同构等价性的正式类型系统确保类型安全和正确性，同时保持计算行为不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何高效且正确地实现将同构类型视为相等的λ-演算？
• RQ2 在类型系统中，通过函数投影实现有效程序变换的机制是什么？
• RQ3 柯里化、对的结合律和交换律的结合如何增强函数式编程中的部分应用？
• RQ4 Bekic定理能否有效应用于具有同构类型的系统中以建模一般递归？
• RQ5 将同构类型视为相等对程序优化和代码简化有何影响？

主要发现

• 通过模等价的重写系统，λ+的实现成功支持将同构类型视为相等，实现了类型安全的简化。
• 在应用前进行函数投影允许在规约过程中对函数结构进行简化，从而实现新颖的程序变换。
• 通过Bekic定理集成自然数和一般递归，支持递归编程的同时保持类型安全。
• 通过利用对的结合律和交换律，实现了增强的部分应用，使函数组合更加灵活。
• 该系统表明，将同构类型视为相等可带来更具表达力和可组合性的函数式程序，且不损害正确性。