[论文解读] Isomorphisms in Multilayer Networks

Mikko Kivelä, Mason A. Porter|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

Complex Network Analysis Techniques被引用 1

一句话总结

本文通过基于顶点标签、层标签或两者组合的置换，将图同构推广至多层网络，引入了多种类型的同构。该方法将多层网络同构问题转化为顶点着色图同构问题，从而可利用现有软件求解，并证明该问题与图同构处于相同的计算复杂度类。该框架统一了多层、时序及互连网络中的同构定义。

ABSTRACT

We extend the concept of graph isomorphisms to multilayer networks with any number of "aspects" (i.e., types of layering). In developing this generalization, we identify multiple types of isomorphisms. For example, in multilayer networks with a single aspect, permuting vertex labels, layer labels, and both vertex labels and layer labels each yield different isomorphism relations between multilayer networks. Multilayer network isomorphisms lead naturally to defining isomorphisms in any of the numerous types of networks that can be represented as a multilayer network, and we thereby obtain isomorphisms for multiplex networks, temporal networks, networks with both of these features, and more. We reduce each of the multilayer network isomorphism problems to a graph isomorphism problem, where the size of the graph isomorphism problem grows linearly with the size of the multilayer network isomorphism problem. One can thus use software that has been developed to solve graph isomorphism problems as a practical means for solving multilayer network isomorphism problems. Our theory lays a foundation for extending many network analysis methods --- including motifs, graphlets, structural roles, and network alignment --- to any multilayer network.

研究动机与目标

• 形式化多方面（如层、时间、连接类型）多层网络中的同构关系。
• 在单一理论框架下统一多层、时序及互连网络等不同网络类型的同构定义。
• 将多层网络同构问题约化为标准顶点着色图同构问题，以实现实际计算。
• 确立多层网络同构与图同构在计算复杂度上的等价性，确认其处于同一复杂度类。

提出的方法

• 通过作用于顶点和层的置换群定义多层网络同构，区分顶点置换、层置换及联合置换。
• 构建从多层网络 M 到顶点着色图 G 的映射 fp，保持结构等价性。
• 使用函数 gp 将置换从多层网络提升至顶点着色图，确保同构兼容性。
• 证明 M ≅p M′ 当且仅当 fp(M) ≅ fp(M′)，从而将多层同构问题约化为标准图同构问题。
• 证明该约化在时间上为多项式时间，在空间上为线性时间，支持使用现有图同构软件。
• 通过具体实例将该框架应用于推导多层、时序及互连网络的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将图同构推广至具有多个方面（如时间、连接类型、依赖关系）的多层网络？
• RQ2 在多层网络中，对顶点、层或两者进行置换时，会衍生出哪些不同类型的同构？
• RQ3 多层网络同构问题能否在保持结构等价性的前提下，约化为标准图同构问题？
• RQ4 多层网络同构的计算复杂度是多少？其与图同构问题的关系如何？
• RQ5 该框架如何统一多层、时序等不同类型网络的同构定义？

主要发现

• 多层网络同构可在多项式时间内约化为顶点着色图同构问题，且变换后图的大小随原多层网络大小线性增长。
• 多层网络之间的同构关系 ∼=p 与经映射 fp 对应的顶点着色图之间的同构关系等价。
• 该框架使现有图同构软件可用于求解多层网络同构问题，显著提升实际可应用性。
• 多层网络同构的计算复杂度与图同构处于同一复杂度类，证实其在实际应用中的可计算性。
• 该理论为将网络分析工具（如基序、图基、结构角色及网络对齐）扩展至任意多层网络结构提供了统一基础。
• 该约化同构是单射且保持结构，确保多层网络中的同构关系与顶点着色图表示中的同构关系一一对应。