[论文解读] Iwasawa theory for elliptic curves at supersingular primes over Z_p-extensions of number fields

Adrian Iovita, Robert Pollack|ArXiv.org|Nov 22, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 13

一句话总结

该论文将椭圆曲线在奇异素数处的Iwasawa理论推广至数域的任意ℤₚ-扩张，其中p完全分裂。通过建立关于分歧ℤₚ-扩张上形式群的新局部控制定理，并引入带有±-不变量的受限Selmer群，推导出Selmer群与p-挠Shafarevich-Tate群的渐近增长公式，推广了此前在典型扩张情形下的结果。

ABSTRACT

In this paper, we make a study of the Iwasawa theory of an elliptic curve at a supersingular prime p along an arbitrary Z_p-extension of a number field K in the case when p splits completely in K. Generalizing work of Kobayashi and Perrin-Riou, we define restricted Selmer groups and λ^\pm, μ^\pm-invariants; we then derive asymptotic formulas describing the growth of the Selmer group in terms of these invariants. To be able to work with non-cyclotomic Z_p-extensions, a new local result is proven that gives a complete description of the formal group of an elliptic curve at a supersingular prime along any ramified Z_p-extension of Q_p.

研究动机与目标

• 将椭圆曲线在奇异素数处的Iwasawa理论从典型ℤₚ-扩张推广至任意数域的ℤₚ-扩张。
• 解决经典控制定理在奇异情形下失效的问题，原因在于形式群上的迹映射非满射。
• 定义受限Selmer群与±-不变量，以捕捉奇异情形下Selmer群的Galois模结构。
• 在任意ℤₚ-扩张上建立p-主Selmer群与Shafarevich-Tate群大小的渐近公式。
• 证明在全局假设（E(K)/pE(K)=0，Ш(E/K)[p]=0，p∤Tam(E/K)）下，p-主Selmer群与Shafarevich-Tate群有限，且其结构可精确描述。

提出的方法

• 证明椭圆曲线形式群在ℚₚ任意分歧ℤₚ-扩张上的新局部控制定理，表明迹映射满足特定递推关系：Trⁿₙ₋₁(dₙ) = -dₙ₋₂，其中dₙ ∈ Ê(Lₙ)为生成元。
• 利用生成元{dₙ}描述形式群上迹映射的核与余核，从而在非典型情形下控制Galois上同调。
• 定义受限Selmer群Sₙ,Σ(T)，其行为类似典型Selmer群，使在Iwasawa代数中构造±/plus-minus代数p-进L函数成为可能。
• 构造代数p-进L函数的两种等价形式：一种基于点{dₙ}，另一种基于受限Selmer群，证明其特征级数一致。
• 对关联Selmer群、形式群与上同调群的交换图应用蛇形引理，推导出Selmer群大小的p-进赋值公式。
• 利用Kato的Euler系在特例（如K=ℚ或虚二次域K）中验证全局假设，作为推论恢复已知结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将椭圆曲线在奇异素数处的Iwasawa理论从典型ℤₚ-扩张推广至任意数域的ℤₚ-扩张？
• RQ2 当形式群上的迹映射非满射时，奇异情形下控制定理的正确类比是什么？
• RQ3 如何在非典型设定下定义反映Selmer群增长的代数p-进L函数与±-不变量？
• RQ4 在何种全局条件下，p-主Selmer群有限且其结构可精确计算？
• RQ5 p-主Shafarevich-Tate群大小的精确渐近公式是什么，其与±-不变量及局部数据的关系如何？

主要发现

• 对于任意ℤₚ-扩张K∞/K，若p在K中完全分裂，则当E(K)/pE(K)=0，Ш(E/K)[p]=0，且p∤Tam(E/K)时，E在Kn上的p-主Selmer群有限。
• 当n较大时，Ш(E/Kₙ)[p∞]的大小渐近增长为p^{μ⁺(pⁿ−pⁿ⁻¹)+λ⁺}，其中μ⁺与λ⁺为本文定义的±-不变量。
• 在任意分歧ℤₚ-扩张上，形式群上迹映射的核与余核被完全描述：coker(Trⁿₙ₋₁) ≅ (ℤ/pℤ)^{dqₙ}，且ker(Trⁿₙ₋₁)同构于若干循环群的积。
• 受限Selmer群的特征幂级数与基于点{dₙ}构造的级数一致，证明了代数p-进L函数两种构造方式的一致性。
• 当代数p-进L函数非零时（即所有μ⁺, μ⁻, λ⁺, λ⁻为零），受限Selmer群在Iwasawa代数上为余挠模，且Selmer群的余维数随n线性增长。
• 当K=ℚ或K为虚二次域且p分裂时，在全局假设下，本文恢复了[9]的主要结果，并作为推论给出了Ш(E/Kₙ)[p∞]大小与Galois结构的精确公式。