[论文解读] $J\bar T$-deformed CFTs as non-local CFTs

Monica Guica|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用 7

一句话总结

该论文首次以具体实现的方式构建了具有精确维拉索罗-卡姆-穆迪对称性的非局域共形场论，即$J\bar{T}$-形变CFT。通过使用流方程和萨瓦拉型关系的微扰量子构造，该研究将算符排序和量子修正问题在二阶微扰下完全解决，表明尽管存在非局域性，对称代数在‘流化’基底下仍保持为维拉索罗-卡姆-穆迪代数，且与原始CFT具有相同的中心电荷。

ABSTRACT

Various holographic set-ups in string theory suggest the existence of non-local, UV complete two-dimensional QFTs that possess Virasoro symmetry, in spite of their non-locality. We argue that $J\bar T$-deformed CFTs are the first concrete realisation of such "non-local CFTs", through a detailed analysis of their classical and quantum symmetry algebra. Classically, the symmetries consist of an infinite set of left-moving conformal and affine $U(1)$ transformations that generate a Witt-Kac-Moody algebra, as well as a set of non-local, field-dependent generalizations of right-moving conformal and affine $U(1)$ transformations, whose algebra depends on the chosen basis. Notably, there exists a basis, denoted as the "flowed" representation, in which the right-moving charge algebra is simply Witt-Kac-Moody. At the quantum level, we provide a concrete prescription for constructing the symmetry generators via a combination of the flow equations they satisfy and the Sugawara construction, and use this to explicitly resolve the ordering ambiguities and the quantum corrections to the generators up to second order in the $J\bar T$ coupling parameter. This construction naturally produces the "flowed" generators, whose algebra is Virasoro-Kac-Moody to all orders in the coupling, with the same central extension as that of the undeformed CFT. We use this input to work out the quantum modifications to the "unflowed" generator algebra. A peculiarity of the Virasoro generators we study is that their zero mode does not equal the Hamiltonian, but is a quadratic function of it; this helps reconcile the Virasoro symmetry with the non-locality of the model. We argue that also $T\bar T$-deformed CFTs posses Virasoro symmetry, and discuss the existence of such a symmetry in more general non-local QFTs.

研究动机与目标

• 提供一个具有精确维拉索罗对称性的非局域、紫外完备的二维量子场论的具体例子，以解决共形对称性如何与非局域性共存的谜题。
• 通过使用流方程和萨瓦拉构造的微扰方法，解决$J\bar{T}$-形变CFT中对称生成元的量子模糊性。
• 证明$J\bar{T}$-形变CFT的量子对称代数在‘流化’基底下仍为维拉索罗-卡姆-穆迪代数，且保持原始中心电荷不变。
• 阐明哈密顿量在维拉索罗代数中的作用，表明其零模是能量的二次函数，从而调和对称性与非局域性之间的矛盾。
• 将分析扩展至$T\bar{T}$-形变CFT，并提出一般非局域量子场论中维拉索罗对称性存在的判据。

提出的方法

• 利用其满足的流方程，结合萨瓦拉构造，对量子对称生成元进行微扰构造，以解决算符排序模糊性。
• 引入右移对称生成元的‘流化’表示，在该表示下代数结构为简单的维特定-卡姆-穆迪代数，且与形变参数无关。
• 通过$\alpha_m^{l,r}$与哈密顿量$H_R$的对易关系，显式计算生成元在$J\bar{T}$耦合下的二阶微扰量子修正，使用$\alpha_m^{l,r}$和$H_R$的对易关系。
• 通过与$\widetilde{\bar{L}}_m^\lambda$和$H_R$的精确对易关系推导$\alpha_m^{l,r}$函数，对所有$\hbar$阶次求解二次方程。
• 利用雅可比恒等式验证代数的一致性，特别关注流化生成元与$H_R$组合的结构。
• 分析谱流不变生成元及其在形变下的变换性质，确保对称性闭包。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个由无关算符形变的非局域量子场论，是否仍能拥有精确的维拉索罗对称性？
• RQ2 如何系统地解决$J\bar{T}$-形变CFT中对称生成元的量子修正与算符排序模糊性问题？
• RQ3 是否存在一个基底，使得$J\bar{T}$-形变CFT的右移对称代数在量子层面仍保持简单且闭合？
• RQ4 在非局域理论中，哈密顿量与维拉索罗零模之间有何关系？该关系能否调和对称性与非局域性之间的矛盾？
• RQ5 在更一般的非局域量子场论中，包括$T\bar{T}$-形变CFT，维拉索罗对称性存在的条件是什么？

主要发现

• 在‘流化’基底下，$J\bar{T}$-形变CFT的量子对称代数为维拉索罗-卡姆-穆迪代数，且与原始CFT具有相同的中心电荷，证明了该对称性在所有耦合阶次下均精确成立。
• 通过结合流方程与萨瓦拉构造，已将对称生成元在$J\bar{T}$耦合下的量子修正完全解析至二阶。
• 在‘流化’基底下，右移生成元满足一个简单的维特定-卡姆-穆迪代数，其代数结构与形变参数无关。
• 维拉索罗生成元的零模并非哈密顿量，而是其二次函数，这有助于调和对称性与理论非局域性之间的矛盾。
• $\alpha_m^{l,r}$函数（控制生成元与哈密顿量之间对易关系）已精确推导至所有$\hbar$阶次，且提供了显式的微扰展开式。
• 证明了‘未流化’生成元的代数在量子力学层面被修改，其修正源于流化生成元的非平凡变换。