[论文解读] K-classes of Brill-Noether loci and a determinantal formula

Dave Anderson, Linda Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 32被引用 10

一句话总结

本文為與 321-避免排列相關的退化位置 K-理論類提出了一個新的行列式公式，該公式被應用於計算具有一至兩個標記點的 Brill-Noether 位置的全純歐拉特徵（算術虧格）。主要貢獻在於提出了一個統一的公式，可恢復經典的 Castelnuovo（ρ=0）與 Eisenbud-Harris/Pirola/Chan-Martín-Pflueger-Teixidor（ρ=1）結果，並透過管夢雙射推廣至雙 Grothendieck 多項式與帶旗幟的偏序表。

ABSTRACT

We compute the Euler characteristic of the structure sheaf of the Brill-Noether locus of linear series with special vanishing at up to two marked points. When the Brill-Noether number $ρ$ is zero, we recover the Castelnuovo formula for the number of special linear series on a general curve; when $ρ=1$, we recover the formulas of Eisenbud-Harris, Pirola, and Chan-Martín-Pflueger-Teixidor for the arithmetic genus of a Brill-Noether curve of special divisors. These computations are obtained as applications of a new determinantal formula for the K-theory class of certain degeneracy loci. Our degeneracy locus formula also specializes to new determinantal expressions for the double Grothendieck polynomials corresponding to 321-avoiding permutations, and gives double versions of the flagged skew Grothendieck polynomials recently introduced by Matsumura. Our result extends the formula of Billey-Jockusch-Stanley expressing Schubert polynomials for 321-avoiding permutations as generating functions for flagged skew tableaux.

研究动机与目标

• 為由 321-避免排列所產生的退化位置 K-理論類發展一個通用的行列式公式。
• 將此公式應用於計算曲線上在一至兩個標記點處具有特定消去性質的 Brill-Noether 位置的全純歐拉特徵。
• 統一並推廣零維與一維情況（ρ=0 和 ρ=1）下 Brill-Noether 位置算術虧格的現有公式。
• 為與 321-避免排列相關的雙 Schubert 多項式與雙 Grothendieck 多項式建立新的行列式表達式。
• 將 Billey-Jockusch-Stanley 對於 Schubert 多項式與帶旗幟偏序表之間的對應關係推廣至 Grothendieck 多項式設定。

提出的方法

• 推導由 321-避免排列資料定義的向量叢映射所產生的退化位置 K-理論類之新行列式公式。
• 利用極限線性系列的幾何性質與兩點 Brill-Noether 定理，將這些位置建模為一般兩點曲線上的退化位置。
• 構造 321-避免排列的帶旗幟集合值表與管夢之間的保權重雙射，推廣已知結果。
• 利用此雙射，將帶旗幟集合值表的生成函數與管夢單項式關聯，進而連結至雙 Grothendieck 多項式。
• 將一般公式特殊化，以恢復 ρ=0 和 ρ=1 情況下的已知虧格公式，並推導雙 Grothendieck 多項式的新表達式。
• 將公式應用於計算在曲線上指定點處具有消去性質的 Brill-Noether 位置結構層的歐拉特徵。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以行列式公式表達與 321-避免排列相關的退化位置 K-理論類？
• RQ2 在一般曲線上，於一至兩個標記點處具有指定消去性質的 Brill-Noether 位置結構層的全純歐拉特徵為何？
• RQ3 新的行列式公式是否能恢復 ρ=0 時的經典 Castelnuovo 公式，以及 ρ=1 時 Eisenbud-Harris/Pirola/Chan-Martín-Pflueger-Teixidor 的公式？
• RQ4 帶旗幟集合值表與管夢之間的雙射如何將 Billey-Jockusch-Stanley 的結果推廣至 Grothendieck 多項式設定？
• RQ5 在此框架下，雙 Grothendieck 多項式會產生哪些新的行列式表達式？

主要发现

• 本文為由 321-避免排列定義的退化位置 K-理論類提供了新的行列式公式，該公式推廣了 Schubert 計數中的先前結果。
• 當 Brill-Noether 數 ρ=0 時，該公式恢復了關於一般曲線上特殊線性系列數量的 Castelnuovo 公式。
• 當 ρ=1 時，該公式重現了 Eisenbud-Harris、Pirola，以及 Chan-Martín-Pflueger-Teixidor 對 Brill-Noether 曲線算術虧格的公式。
• 本文建立了 321-避免排列的帶旗幟集合值表與管夢之間的保權重雙射，將 Billey-Jockusch-Stanley 對應關係推廣至 Grothendieck 多項式設定。
• 該框架為與 321-避免排列相關的雙 Grothendieck 多項式提供了新的行列式表達式，並提供了通用行列式公式的幾何證明。
• 本研究結果為 Osserman 對特殊線性系列存在的判別準則提供了基於 K-理論與退化位置技術的新證明。