[论文解读] k-Double Schur functions and equivariant (co)homology of the affine Grassmannian

Thomas Lam, Mark Shimozono|arXiv (Cornell University)|May 11, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 14被引用 4

一句话总结

该论文引入了 $k$-双舒尔函数与仿射双舒尔函数，作为 $SL_{k+1}$ 的仿射格拉斯曼ian同调与上同调中环面等变舒伯特类的多项式代表。通过一对对偶的对称函数霍普夫代数，建立了这些对称函数与等变（上）同调环之间的显式同构，同时保持霍普夫代数结构与通过变量特化实现的等变局部化。

ABSTRACT

The Schubert bases of the torus-equivariant homology and cohomology rings of the affine Grassmannian of the special linear group are realized by new families of symmetric functions called k-double Schur functions and affine double Schur functions.

研究动机与目标

• 为 $SL_{k+1}$ 的仿射格拉斯曼ian同调与上同调中的环面等变舒伯特类构造显式的多项式代表。
• 在 $\hat{\Lambda}_{(n)}(y\|a)$ 中的 $k$-双舒尔函数与 $\Lambda^{(n)}(x\|a)$ 中的仿射双舒尔函数之间建立对偶性，实现 $H_T(\mathrm{Gr})$ 与 $H^T(\mathrm{Gr})$ 的舒伯特基。
• 通过证明 $k$-双舒尔函数在参数特化下同时推广了仿射舒尔函数与 $k$-舒尔函数，统一了看似无关的两个理论——等变舒伯特演算与 $k$-舒尔函数。
• 通过与对称函数兼容的乘法、余乘法与局部化，为等变（上）同调的霍普夫代数结构提供几何实现。
• 将双对称函数与等变上同调之间的联系从有限情形推广到仿射情形，包括无限格拉斯曼ian的极限情形。

提出的方法

• 构造两个对偶霍普夫代数：$\Lambda^{(n)}(x\|a)$，即双对称函数环的商环，以及 $\hat{\Lambda}_{(n)}(y\|a)$，即对偶双对称函数的子代数。
• 在 $\lambda_1 < n$ 的分拆下，定义 $k$-双舒尔函数 $s^{(k)}_{\lambda}(y\|a) \in \hat{\Lambda}_{(n)}(y\|a)$ 与仿射双舒尔函数 $\tilde{F}_{\lambda}(x\|a) \in \Lambda^{(n)}(x\|a)$ 作为这些环的基。
• 建立霍普夫同构 $\kappa: \hat{\Lambda}_{(n)}(y\|a) \to H_T(\mathrm{Gr})$，将 $s^{(k)}_{\lambda}(y\|a)$ 映射为等变同调类 $[X_{w_{\lambda}^{\mathrm{af}}}]_T$，其对偶映射 $\kappa^*: H^T(\mathrm{Gr}) \to \Lambda^{(n)}(x\|a)$ 将 $[X_{w_{\lambda}^{\mathrm{af}}}]^T$ 映射为 $\tilde{F}_{\lambda}(x\|a)$。
• 利用仿射格拉斯曼ian的 GKM 环结构与仿射尼尔赫伯代数，将等变（上）同调实现为一个中心化子子代数，从而与彼得森的刻画相联系。
• 定义仿射双斯坦利对称函数 $\tilde{F}_w(x\|a)$ 作为仿射双舒尔函数的推广，并展示其与仿射对称群中约化分解的关系。
• 通过一个遗忘映射 $\mathbb{Q}[a_1,\dots,a_m] \to \mathbb{Q}[a_1,\dots,a_n]$ 实现分支过程，其中 $a_{i+kn} \mapsto a_i$，将 $\Lambda^{(m)}(x\|a)$ 降低为 $\Lambda^{(n)}(x\|a)$，并利用等变 $k$-科斯塔矩阵计算展开系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一族对称函数，使其同时实现仿射格拉斯曼ian等变同调与上同调的舒伯特基，并保持霍普夫代数结构？
• RQ2 在等变参数特化下，$k$-双舒尔函数与经典 $k$-舒尔函数及仿射舒尔函数之间有何关系？
• RQ3 何种几何与代数机制使得同一族对称函数既能计算结构常数（通过霍普夫代数），又能实现等变局部化（通过变量特化）？
• RQ4 无限格拉斯曼ian $\mathrm{Gr}_\infty$ 的等变上同调如何与双对称函数环相关联？其与仿射情形有何联系？
• RQ5 当 $m$ 是 $n$ 的倍数时，从 $\mathrm{Gr}_{SL_m}$ 到 $\mathrm{Gr}_{SL_n}$ 的仿射双舒尔函数的分支规则是什么？

主要发现

• 在 $SL_{k+1}$ 的仿射格拉斯曼ian等变同调与上同调环中，$k$-双舒尔函数 $s^{(k)}_{\lambda}(y\|a)$ 与仿射双舒尔函数 $\tilde{F}_{\lambda}(x\|a)$ 构成对偶霍普夫代数基，其中 $\kappa$ 与 $\kappa^*$ 提供显式同构。
• 当将等变参数 $a_i$ 特化为零时，$k$-双舒尔函数退化为 $k$-舒尔函数，仿射双舒尔函数退化为仿射舒尔函数，恢复了 [Lam06] 与 [LLM, LM] 中已知的结果。
• 舒伯特类的等变局部化通过映射 $\epsilon_v$ 将 $x$-变量特化为 $a$-变量来计算，该结果与舒伯特类在 $T$-不动点包含下的拉回一致。
• 从 $\mathrm{Gr}_{SL_m}$ 到 $\mathrm{Gr}_{SL_n}$（当 $m = rn$ 或 $m = \infty$ 时）的分支系数，通过遗忘映射降低等变 $k$-科斯塔矩阵并限制于满足 $\lambda_1 < n$ 的分拆来计算，如表 8.3.1–8.3.3 所示。
• 当 $n \to \infty$ 时，仿射双舒尔函数 $\tilde{F}_{\lambda}(x\|a)$ 退化为双舒尔函数 $s_\lambda(x\|a)$，其被识别为无限格拉斯曼ian $\mathrm{Gr}_\infty$ 的舒伯特基。
• 该构造证实了第二作者的猜想，并将彼得森通过尼尔赫伯代数对仿射格拉斯曼ian等变同调的刻画推广至等变情形，现以对称函数代表实现。