[论文解读] K-theoretic quasimap invariants and their wall-crossing

Hsian‐Hua Tseng, Fenglong You|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文在具有孤立不动点和一维轨道的环面作用下，为GIT商 $W\sslash G$ 的亏格零 $K$-理论拟映射不变量建立了墙交叉公式。引入了置换等变的 $S$-算子和 $\mathcal{J}^\epsilon$-函数，证明 $\mathcal{J}^\epsilon$-函数位于 $K$-理论 Gromov-Witten 理论的拉格朗日锥面上，并通过控制极点的幂级数的唯一性论证，推导出不同稳定性锥中 $S$-算子之间的墙交叉公式。

ABSTRACT

For each positive rational number $ε$, we define $K$-theoretic $ε$-stable quasimaps to certain GIT quotients $W\sslash G$. For $ε>1$, this recovers the $K$-theoretic Gromov-Witten theory of $W\sslash G$ introduced in more general context by Givental and Y.-P. Lee. For arbitrary $ε_1$ and $ε_2$ in different stability chambers, these $K$-theoretic quasimap invariants are expected to be related by wall-crossing formulas. We prove wall-crossing formulas for genus zero $K$-theoretic quasimap theory when the target $W\sslash G$ admits a torus action with isolated fixed points and isolated one-dimensional orbits.

研究动机与目标

• 将墙交叉公式从上同调理论推广至亏格零 $K$-理论拟映射不变量。
• 通过 $S$-算子和 $\mathcal{J}^\epsilon$-函数，定义并研究置换等变的 $K$-理论拟映射不变量。
• 在不同锥中的稳定性参数 $\epsilon_1$ 和 $\epsilon_2$ 之间，建立 $S$-算子的墙交叉公式。
• 证明 $\mathcal{J}^\epsilon$-函数位于置换等变 $K$-理论 Gromov-Witten 理论的拉格朗日锥面上。
• 将 Givental 的 $K$-理论镜像定理推广至具有不动点和轨道条件的拟映射理论。

提出的方法

• 将 $K$-理论 $\epsilon$-稳定拟映射不变量定义为虚拟结构层在标记点处被典范线丛扭曲后的解析欧拉示性数。
• 将 $S^\epsilon$-算子构造为包含形式变量 $q$ 和对偶基元素的生成函数级数。
• 将 $\mathcal{J}^\epsilon$-函数定义为复合函数 $S^\epsilon(P^\epsilon)$，其中 $P^\epsilon$ 是拟映射图空间上的生成函数级数。
• 利用不动点局部化方法分析每个环面不动点处的 $S^\epsilon$-算子，将其表示为 $q$ 的幂级数，其极点仅出现在单位根以及 $0, \infty$ 处，且留数受控。
• 通过幂级数系统满足递推与对称性条件的唯一性引理，证明 $\mathcal{J}^\epsilon$-函数位于置换等变 $K$-理论 Gromov-Witten 理论的拉格朗日锥面上。
• 通过证明不同 $\epsilon$-锥中 $S$-算子在模 $Q$ 意义下一致，且满足相同的递推关系与极点约束，从而利用唯一性引理建立墙交叉公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当稳定性参数 $\epsilon$ 穿越稳定性锥分解中的墙时，$K$-理论拟映射不变量如何变化？
• RQ2 在具有孤立不动点和一维轨道的环面作用下，亏格零 $K$-理论拟映射不变量的墙交叉公式的精确形式是什么？
• RQ3 如何通过 $K$-理论 Gromov-Witten 理论的拉格朗日锥面来表征 $\mathcal{J}^\epsilon$-函数？
• RQ4 在何种条件下，$S^\epsilon$-算子作为 $q$ 的幂级数，其受控极点结构与递推关系可保证唯一性？
• RQ5 不同 $\epsilon$-值对应的 $S^\epsilon$-算子在多大程度上通过墙交叉公式相互关联，且该公式如何被证明？

主要发现

• 根据命题 3.2 和定理 4.5，$\mathcal{J}^\epsilon$-函数对所有 $\epsilon \geq 0^+$ 位于置换等变 $K$-理论 Gromov-Witten 理论的拉格朗日锥面上。
• 定理 4.4 表明，通过控制极点位于 $0$、$\infty$、单位根以及 $q = (\lambda(\beta,\mu)^{-1/m})$ 处的一阶极点的幂级数的唯一性论证，证明了 $\epsilon_1$ 和 $\epsilon_2$ 位于不同稳定性锥中时，$S^{\epsilon_1}$ 与 $S^{\epsilon_2}$ 之间的墙交叉公式。
• $S^\epsilon$-算子被证明满足由不动点局部化导出的递推关系，其系数属于 $K^0(W\sslash G) \otimes \Lambda\{\{t_i\}
• 通过唯一性引理（引理 4.9）形式化地表明，$S^\epsilon$-算子由其模 $Q$ 的行为、极点结构与递推关系唯一确定，这意味着若两个此类幂级数系统在模 $Q$ 下一致且满足相同条件，则必相等。
• 通过验证系统 $\{S^{\epsilon_1}_{\tau_{\gamma}^{\epsilon_1,\epsilon_2}(t),\beta}\}$ 与 $\{S^{\epsilon_2}_{t,\beta}\}$ 满足唯一性引理的全部五条条件（包括极点控制与递推关系），从而确立了不同锥中 $S$-算子的相等性，即墙交叉公式成立。
• $\mathcal{J}^\epsilon$-函数被证明是 Gromov-Witten 理论中 $J$-函数的 $K$-理论类比，其在拉格朗日锥面上的像确认了其与 $K$-理论量子 $K$-理论形式化的一致性。