[论文解读] K3 surfaces with involution, equivariant analytic torsion, and automorphic forms on the moduli space IV: the structure of invariant

Shouhei Ma, Kenichi Yoshikawa|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文完全确定了在具有对合的 $K3$ 曲面模空间上全纯扭量不变量 $\tau_M$ 的结构，表明其在每个连通分支上均为一个博赫兹提升与一个经典西格尔模形式的乘积。本文证明了扭曲版本的模性，并建立了博赫兹猜想的等变类比，通过魏尔表示与 theta 提升给出了显式的自守表达式。

ABSTRACT

A holomorphic torsion invariant of K3 surfaces with involution was introduced by the second-named author. In this paper, we completely determine its structure as an automorphic function on the moduli space of such K3 surfaces. On every component of the moduli space, it is expressed as the product of an explicit Borcherds lift and a classical Siegel modular form. We also introduce its twisted version. We prove its modularity and a certain uniqueness of the modular form corresponding to the twisted holomorphic torsion invariant. This is used to study an equivariant analogue of Borcherds' conjecture.

研究动机与目标

• 完全确定全纯扭量不变量 $\tau_M$ 作为具有对合的 $K3$ 曲面模空间上自守函数的结构。
• 在模空间的每个连通分支上，显式表达 $\tau_M$ 为一个博赫兹提升与一个经典西格尔模形式的乘积。
• 引入并证明 $\tau_M$ 的扭曲版本的模性，确立其唯一性及其与自守形式的联系。
• 基于 $\tau_M$ 的结构，提出并证明博赫兹猜想的等变类比。
• 以实 $K3$ 曲面与旋量丛为框架，提供结果的镜像对称解释。

提出的方法

• 使用与 $K3$ 格点中正交补 $\rho = M^\bot$ 的判别群 $A_\rho$ 相关的魏尔表示 $\rho_\rho$。
• 通过彼得松下划线算子与群环 ${\bf C}[A_\rho]$ 中的向量 ${\bf e}_0$ 构造模形式 $F_\rho$。
• 对 $F_\rho$ 应用博赫兹提升，生成一个具有无限乘积展开的亚纯自守形式 $\Psi_\rho(\cdot, F_\rho)$。
• 通过托雷利映射 $J_M: \tilde{\frak M}_\rho^0 \to \mathcal{A}_g$ 拉回权为 $2^{g+1}(2^g+1)$ 与 $2(2^g-1)(2^g+2)$ 的西格尔模形式的彼得松范数。
• 利用旋量丛构造，并将 Dirac 算子 $D_{S_\rho}^2$ 识别为在不动曲线 $X^\rho$ 上的 Dolbeault 算子，从而将解析扭量与 $\tau_M^{\rm spin}$ 关联起来。
• 通过超凯勒结构与实 $K3$ 曲面上的反全纯对合，建立镜像对称的解释。

实验结果

研究问题

• RQ1 全纯扭量不变量 $\tau_M$ 如何作为 $2$-初等 $K3$ 曲面模空间上的自守函数表达？
• RQ2 $\tau_M$ 在博赫兹提升与西格尔模形式方面的精确分解是什么？
• RQ3 是否存在一个保持模性的 $\tau_M$ 的扭曲版本？若存在，其唯一性如何？
• RQ4 能否基于此结构提出并证明博赫兹猜想的等变类比？
• RQ5 具有对合的 $K3$ 曲面的镜像对称性如何与解析扭量不变量相关联？

主要发现

• 在模空间的每个分支上，$\tau_M$ 表达为 $C_M \cdot \|\Psi_\rho(\cdot, 2^{g-1}F_\rho + f_\rho)\|^{-1/2}$，其中 $\Psi_\rho$ 为博赫兹提升，$f_\rho$ 为特定模形式。
• 扭曲的全纯扭量不变量是模的，且由其自守性质唯一确定，从而证明了对应西格尔模形式的唯一性结果。
• $\tau_M$ 的结构显式表示为一个博赫兹提升与一个经典西格尔模形式的乘积，适用于所有非例外类型的 $2$-初等 $K3$ 曲面。
• 该结果建立了 $\tau_M$ 的完整自守描述，解决了其在模空间上的函数结构问题。
• 通过实 $K3$ 曲面获得镜像对称解释，其中 $\tau_M^{\rm spin}$ 表达为在复化凯勒锥内某点取值的博赫兹提升。
• 证明依赖于将 Dirac 算子 $D_{S_\gamma}^2$ 识别为在不动曲线上 Dolbeault 算子，从而将解析扭量与谱 zeta 函数联系起来。