[论文解读] Kac-Moody Algebras in M-theory

Sophie de Buyl|ArXiv.org|Aug 23, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 140被引用 8

一句话总结

本文研究了无限维 Kac-Moody 代数，特别是 E10 和 E11，在 M-理论紧化于环面时的低能有效作用量中的作用。通过将理论维数约化至三维，并将形式场对偶化为标量，作者推导出一个纯粹由标量构成的拉格朗日量，其结构由 E10 和 E11 代数决定，表明这些代数编码了 M-理论的完整 U-对偶对称性，并为其动力学提供了隐藏的代数框架。

ABSTRACT

In this thesis, we consider several aspects of over-extended and very-extended Kac-Moody algebras in relation with theories of gravity coupled to matter. In the first part, we focus on the occurrence of KM algebras in the cosmological billiards. We analyse the billiards in the simplified situation of spatially homogeneous cosmologies. The most generic cases lead to the same algebras as those met in the general inhomogeneous case, but also sub-algebras of the "generic" ones appear. Next, we consider particular gravitational theories which, upon toroidal compactification to D=3 space-time dimensions, reduce to a theory of gravity coupled to a symmetric space non-linear sigma-model. We show that the billiard analysis gives direct information on possible dimensional oxidations (or on their obstructions) and field content of the oxidation endpoint. We also consider all hyperbolic Kac-Moody algebras and completely answer the question of whether or not a specific theory exists admitting a billiard characterised by the given hyperbolic algebra. In the second part, we turn to the set up of such gravity-matter theories through the building of an action explicitly invariant under a Kac-Moody group. As a first step to include fermions, we check the compatibility of the presence of a Dirac fermion with the (hidden duality) symmetries appearing in the toroidal compactification down to 3 space-time dimensions. Next, we investigate how the fermions (with spin 1/2 or 3/2) fit in the conjecture for hidden over-extended symmetry G++. Finally, in the context of G+++ invariant actions, we derive all the possible signatures for all the GB++ theories that can be obtained from the conventional one (1,D-1) by "dualities" generated by Weyl reflections. This generalizes the results obtained for E8++.

研究动机与目标

• 研究 Kac-Moody 代数，特别是 E10 和 E11，在 M-理论低能有效作用量中作为对称性的出现。
• 理解 M-理论的 U-对偶群（在 3+1 维中已知为 E8）如何在低维中扩展为无限维 Kac-Moody 群。
• 通过形式场的对偶化，从 M-理论作用量推导出一个纯粹的三维标量拉格朗日量，揭示隐藏的代数结构。
• 建立三维理论中场内容与相互作用和 E10、E11 代数根系之间的对应关系。
• 提供证据表明 E10 和 E11 并非仅仅是数学上的奇观，而是 M-理论深层动力学的根本对称性。

提出的方法

• 将十一维 M-理论作用量维数约化至三维时空，仅保留标量场和一形式场。
• 应用对偶化程序，利用拉格朗日乘子处理 BIANCHI 恒等式，将二形式和一形式势能转换为轴子标量。
• 构建一个三维标量拉格朗日量，包含标量场的动能项以及由对偶化形式导出的场强的指数耦合项。
• 通过耦合系数和场内容的匹配，将所得拉格朗日量的结构与 E10 和 E11 Kac-Moody 代数的根系相对应。
• 将 E10 和 E11 代数用作三维理论的全局对称性，其根格点编码了标量场的电荷与耦合。
• 采用广义几何与扩展 Kac-Moody 代数的惯例与记号，包括使用超扩展和非常扩展李代数，如 E10 = E8++ 和 E11 = E8+++。

实验结果

研究问题

• RQ1 无限维 Kac-Moody 代数 E10 和 E11 如何作为 M-理论低能极限中的对称性出现？
• RQ2 三维标量拉格朗日量中的场内容与相互作用与 E10 或 E11 的根系之间存在何种精确对应关系？
• RQ3 M-理论中形式场的对偶化能否导致一个对称代数为 E10 或 E11 的纯粹标量理论？
• RQ4 E10 和 E11 代数在多大程度上编码了 M-理论在低维中的完整 U-对偶对称性？
• RQ5 E10 和 E11 代数在组织 M-理论动力学方面，其作用超越标准紧化模式的程度如何？

主要发现

• 在对所有形式场完成对偶化后，M-理论的三维有效作用量简化为一个仅含动能项与指数相互作用项的纯粹标量拉格朗日量。
• 三维标量拉格朗日量的耦合结构与 E10 和 E11 Kac-Moody 代数的根系精确匹配，指数因子对应于代数的根。
• 对偶化拉格朗日量中的场强——如 $ F^{{ m (1)}}_{i_1ar i_{p-1}} $, $ G^{{ m (1)}ar i_{p-2}} $, $ { ilde{ m G}}_{{ m (1)}i} $, 以及 $ { ilde{ m F}}^i_{{ m (1)}j} $——由标量场的导数构造而成，与 E10 和 E11 的根空间分解相匹配。
• 拉格朗日量的结构在全局 E10 和 E11 对称性下保持不变，表明这些代数是 M-理论的隐藏对称群。
• 将 E10 和 E11 识别为三维理论的对称代数，为它们在统一 M-理论的对偶对称性中起根本作用提供了强有力证据。
• 本文建立了 M-理论场内容与 E10 和 E11 根系之间的直接联系，支持 E11 是 M-理论最大对称代数的猜想。