[论文解读] Kadomtsev-Petviashvili equation: one-constraint method and lump pattern

Jieyang Dong, Liming Ling+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2021

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 52被引用 5

一句话总结

本文提出一种基于AKNS系统达布变换的一约束方法，用于构造和分析Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程的高阶lump解。结果表明，在大参数极限下，lump图案渐近分解为多个一阶lump，其动力学行为由Yablonskii-Vorob’ev多项式决定，从而建立了KP方程lump解与非线性薛定谔系统中 rogue wave 结构之间的直接联系。

ABSTRACT

The Kadomtsev-Petviashvili reduction method is a crucial method to derive the solitonic solutions of (1+1) dimensional integrable system from high dimensional system. In this work, we explore to use the solutions of lower dimensional system to construct the solutions in the high dimensional one with the Darboux transformation. Especially, we utilize this method to disclose the relationship between the rogue wave and lump solutions. Under one-constraint method, the asymptotic analysis to the lump pattern of Kadomtsev-Petviashvili equation is given

研究动机与目标

• 提出一种系统化方法，利用一约束方法构造KP方程的高阶lump解。
• 分析这些lump图案随时间 $t$ 和内部参数 $a_{2m+1}$ 的渐近行为。
• 通过参数缩放将lump解与非线性薛定谔方程（NLS）的rogue wave解关联，阐明lump解的几何与动力学结构。
• 基于 $t=0$ 时的动力学行为对lump图案进行分类，并识别不同的解构型。

提出的方法

• 在单约束条件下重述KP族，通过Sato理论和微分算子将其与AKNS系统关联。
• 对AKNS系统应用高维达布变换，生成精确解，利用其结构良好的框架实现解析控制。
• 解以从Schur多项式和涉及谱参数及内部变量的行列式导出的 $σ$-函数形式表达。
• 在两种情形下进行渐近分析：当 $|t| \to \infty$ 和当 $|a_{2m+1}| \to \infty$，使用缩放变量 $\hat{\epsilon} = |a_{2m+1}|^{-1/(2m+1)}$。
• 通过映射到Yablonskii-Vorob’ev多项式 $Q_N^{[m]}(z)$ 分析临界点附近的动力学，这些多项式决定了lump结构的位置与阶数。
• 将解重写为 $τ$-函数形式，与Ohta和Yang已知的高阶lump解结果一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 当时间 $t$ 变得很大时，KP方程的高阶lump解如何渐近演化？
• RQ2 当内部参数 $a_{2m+1}$ 变得非常大时，lump图案会发生什么变化，这对解的结构有何影响？
• RQ3 能否基于 $t=0$ 时的行为对lump解的动力学进行分类？
• RQ4 通过AKNS达布变换的一约束方法，如何揭示KP方程lump解与NLS方程rogue wave解之间的联系？

主要发现

• 当 $|t| \to \infty$ 时，高阶lump解渐近分解为 $N_0^{[1]}$ 个一阶lump，其中 $N_0^{[1]}$ 为 0 或 1。
• 当 $|a_{2m+1}| \to \infty$ 且 $t$ 较小时，解在 $(x_0^{[m]}, y_0^{[m]})$ 邻域外趋于零，表明其局域化特性。
• 在临界点 $(x_0^{[m]}, y_0^{[m]})$ 附近，解渐近趋近于 $N_0^{[m]}$ 阶lump，其形式为包含 $x - x_0^{[m]}$ 和 $y - y_0^{[m]}$ 的有理函数。
• 渐近展开中的最高阶项与 $|a_{2m+1}|^{N(N+1)/(2m+1)}$ 成正比，显示出对大参数的幂律依赖。
• 当 $a_{2m+1}$ 较大时，解在原点附近的结构与NLS rogue wave的行为一致，证实了KP lumps与NLS rogue waves之间的理论联系。
• 在 $t=0$ 时的动力学允许根据Yablonskii-Vorob’ev多项式 $Q_N^{[m]}(z)$ 的 $N_p^{[m]}$ 个简单非零实根的数量与排列方式，对lump图案进行分类。