[论文解读] Kernel Based High Order "Explicit" Unconditionally-Stable Scheme for Nonlinear Degenerate Advection-Diffusion Equations

Andrew Christlieb, Wei Guo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2017

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 25被引用 8

一句话总结

该论文提出了一种基于方法线转置（MOL T）框架的核函数公式化高阶无条件稳定数值格式，用于求解非线性退化对流-扩散方程。通过结合连续卷积、高阶WENO重构以及显式强稳定性保持（SSP）Runge-Kutta时间积分方法，该方法实现了高达三阶的精度，并允许比标准显式格式大得多的时间步长，从而在保持稳定性和避免间断附近虚假振荡的同时，显著节省计算成本。

ABSTRACT

In this paper, we present a novel numerical scheme for solving a class of nonlinear degenerate parabolic equations with non-smooth solutions. The proposed method relies on a special kernel based formulation of the solutions found in our early work on the method of lines transpose and successive convolution. In such a framework, a high order weighted essentially non-oscillatory (WENO) methodology and a nonlinear filter are further employed to avoid spurious oscillations. High order accuracy in time is realized by using the high order explicit strong-stability-preserving (SSP) Runge-Kutta method. Moreover, theoretical investigations of the kernel based formulation combined with an explicit SSP method indicates that the combined scheme is unconditionally stable and up to third order accuracy. Evaluation of the kernel based approach is done with a fast $\mathcal{O}(N)$ summation algorithm. The new method allows for much larger time step evolution compared with other explicit schemes with the same order accuracy, leading to remarkable computational savings.

研究动机与目标

• 开发一种针对具有非光滑解（如间断或陡峭前缘）的非线性退化抛物方程的高阶数值格式。
• 克服标准显式格式在扩散主导问题中时间步长严重受限的问题，尤其当Δt ∝ Δx²时。
• 在保持空间和时间高阶精度的同时，实现无条件稳定的时间积分。
• 通过高阶WENO重构和非线性滤波器，有效抑制间断附近的振荡。
• 通过核函数公式的快速O(N)求和算法，实现高效计算。

提出的方法

• 该方法采用从方法线转置（MOL T）导出的核函数积分公式化，将PDE在每个时间步转化为一个边界值问题。
• 通过连续卷积（再生核展开）将解表示为包含高阶空间导数的级数，从而实现高阶精度。
• 对空间导数应用高阶加权本质非振荡（WENO）重构，以在间断附近保持高分辨率。
• 在陡峭梯度或间断区域应用非线性滤波器，以抑制虚假振荡。
• 采用高阶强稳定性保持（SSP）Runge-Kutta格式进行时间积分，以保持稳定性和精度。
• 采用快速O(N)求和算法计算核函数积分，将计算复杂度从O(N²)降低至O(N)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在MOL T框架中，基于核函数的公式化能否实现对非线性退化对流-扩散方程的无条件稳定时间积分？
• RQ2 能否在不施加稳定性限制的显式时间推进格式下，实现空间和时间上高达三阶的精度？
• RQ3 WENO重构与非线性滤波器能否有效抑制间断附近的振荡，同时保持高阶精度？
• RQ4 与标准显式格式相比，该方法能否实现显著更大的时间步长，且保持相近的精度阶数？
• RQ5 快速O(N)求和算法能否在保持核函数公式化精度与稳定性的前提下，维持高效率？

主要发现

• 所提出的格式在理论上被证明是无条件稳定的，且在空间和时间上均达到最高三阶精度。
• 该方法允许的时间步长远大于Δt ∝ Δx²，与标准显式格式相比可实现显著的计算节省。
• 数值实验验证了设计的高阶精度以及在间断和陡峭前缘附近的非振荡特性。
• 核函数公式化与快速O(N)求和相结合，实现了高效计算，将复杂度从O(N²)降低至O(N)。
• WENO与非线性滤波器的结合成功抑制了具有陡峭梯度或间断解中的虚假振荡。
• 由于其鲁棒性与稳定性，该格式适用于多种方程，包括多孔介质流、等离子体输运和辐射转移等模型方程。