[论文解读] Khovanov-Rozansky homology via Cohen-Macaulay approximations and Soergel bimodules

H. W. Becker|arXiv (Cornell University)|May 3, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文通过证明MOY图的矩阵因子化与Soergel双模的Cohen-Macaulay逼近同构，建立了Khovanov-Rozansky链同调与Soergel双模之间的深层联系。证明了对于无环的MOY图，稳定化（取极大Cohen-Macaulay模的稳定范畴）与张量积可交换，从而将矩阵因子化中的复杂计算简化为Hecke代数的已知组合学。关键结果是，辫子闭包的同调可视为一种稳定化的Hochschild上同调，且索引为超过n行的杨表的Soergel双模具有平凡的Cohen-Macaulay逼近，这与O类中的消失结果相呼应。

ABSTRACT

This is the author's diploma thesis. We describe a simplification in the construction of Khovanov-Rozansky's categorification of quantum sl(n) link homology using the theory of maximal Cohen-Macaulay modules over hypersurface singularities and the combinatorics of Soergel bimodules. More precisely, we show that the matrix factorizations associated to basic MOY-graphs equal Cohen-Macaulay approximations of certain Soergel bimodules, and prove that taking Cohen-Macaulay approximation commutes with tensor products as long as the MOY-graph under consideration does not possess oriented cycles. It follows that the matrix factorization associated to a MOY-braid equals the Cohen-Macaulay approximation of the Soergel bimodule corresponding to the endofunctor on BGG-category O associated to the braid by Mazorchuk and Stroppel. This reduces certain computations in the category of matrix factorizations to known combinatorics of the Hecke-algebra. Finally, we describe braid closure as some kind of Hochschild cohomology and prove that the indecomposable Soergel bimodules corresponding to Young tableaux with more than n rows have trivial Cohen-Macaulay approximation, in analogy to the fact that the corresponding projective functors on category O vanish on restriction to parabolics with at most n parts.

研究动机与目标

• 通过超曲面奇点上的极大Cohen-Macaulay模简化Khovanov-Rozansky链同调的构造。
• 建立MOY图的矩阵因子化与Soergel双模的Cohen-Macaulay逼近之间的精确对应关系。
• 证明当MOY图无定向环路时，稳定化函子与张量积可交换，从而实现同调计算向Hecke代数组合学的约化。
• 在矩阵因子化语境下，将辫子闭包解释为一种稳定化的Hochschild上同调形式。
• 证明索引为超过n行的杨表的Soergel双模具有平凡的Cohen-Macaulay逼近，其与parabolic子类中投影函子的消失性质类似。

提出的方法

• 利用Gorenstein超曲面的极大Cohen-Macaulay模理论，定义在分次模上的稳定化函子。
• 应用Gorenstein环的稳定范畴的半正交分解理论，计算分次模的稳定化。
• 证明与基本MOY图相关的矩阵因子化同构于相应Soergel双模的Cohen-Macaulay逼近。
• 利用Koszul分解与导出范畴的性质，证明当MOY图无定向环路时，稳定化函子与张量积可交换。
• 在矩阵因子化的导出范畴上构造一个与稳定化相容的对偶性，并在同伦范畴HMF(S, w)上诱导出一个对偶性。
• 通过与S/(w)的Koszul分解的导出张量积，将辫子闭包解释为一种稳定化的Hochschild上同调，从而将拓扑不变量与代数结构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用超曲面奇点上的极大Cohen-Macaulay模简化Khovanov-Rozansky同调的构造？
• RQ2 MOY图的矩阵因子化与Soergel双模之间的确切关系是什么？
• RQ3 在无定向环路的MOY图语境下，稳定化函子是否与张量积可交换？
• RQ4 在稳定化范畴中，Khovanov-Rozansky同调中的辫子闭包能否被解释为某种形式的Hochschild上同调？
• RQ5 对索引为超过n行的杨表的Soergel双模，其Cohen-Macaulay逼近的行为如何？

主要发现

• 与基本MOY图相关的矩阵因子化同构于相应Soergel双模的Cohen-Macaulay逼近。
• 对于无定向环路的MOY图，稳定化函子与张量积可交换，从而实现同调计算的组合约化。
• MOY辫子的同调同构于由辫子在BGG类O上定义的自函子所关联的Soergel双模的Cohen-Macaulay逼近，如Mazorchuk与Stroppel所定义。
• 辫子闭包被实现为一种稳定化的Hochschild上同调形式，将拓扑不变量与导出范畴中的代数结构联系起来。
• 对应于超过n行杨表的不可约Soergel双模具有平凡的Cohen-Macaulay逼近，其与parabolic子类中至多n个部分的投影函子的消失性质类似。
• 矩阵因子化导出范畴上的对偶性与稳定化相容，并在同伦范畴HMF(S, w)上诱导出一个对偶性，且导出Hom与稳定化之间存在自然同构。