[论文解读] KMS states for the generalized gauge action on graph algebras

Gilles de Castro, Fernando de L. Mortari|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2012

Advanced Operator Algebra Research被引用 4

一句话总结

本文在正向边函数导出的条件下，建立了任意有向图的C*-代数上广义规范作用的KMS态与顶点C*-代数 $C_0(E^0)$ 上某些迹态之间的双射对应关系。当边权大于1时，进一步刻画了基态，通过核心代数的归纳极限结构，将Cuntz与Cuntz-Krieger代数中的已知结果推广至无限图。

ABSTRACT

Given a positive function on the set of edges of an arbitrary directed graph $E=(E^0,E^1)$, we define a one-parameter group of automorphisms on the C*-algebra of the graph $C^*(E)$, and study the problem of finding KMS states for this action. We prove that there are bijective correspondences between KMS states on $C^*(E)$, a certain class of states on its core, and a certain class of tracial states on $C_0(E^0)$. We also find the ground states for this action and give some examples.

研究动机与目标

• 将KMS态分类结果从有限图推广至任意有向图。
• 利用正向边函数 $c:E^1 \to \mathbb{R}^+$ 定义 $C^*(E)$ 上的广义规范作用。
• 在 $C^*(E)$ 上的KMS态、核心代数上的态与 $C_0(E^0)$ 上的迹态之间建立双射对应关系。
• 当所有边满足 $c(e) > 1$ 时，刻画广义作用的基态。
• 将Cuntz与Cuntz-Krieger代数中关于KMS态的已知结果推广至无限图与非行有限图。

提出的方法

• 通过正向边函数 $c:E^1 \to \mathbb{R}^+$ 定义 $C^*(E)$ 上的一族参数自同构。
• 利用核心代数 $C^*(E)^\gamma$ 的归纳极限结构，将 $C^*(E)$ 上的态与 $C_0(E^0)$ 上的态联系起来。
• 建立 $C_0(E^0)$ 上迹态 $\tau$ 的必要且充分条件，以保证在逆温度 $\beta$ 下存在KMS态，其中涉及泛函 $\mathcal{F}_{c,\beta}(\tau)(v) = \sum_{e \in r^{-1}(v)} c(e)^{-\beta} \tau(v)$。
• 证明KMS态与满足对所有 $v \in E^0$ 有 $\mathcal{F}_{c,\beta}(\tau)(v) \leq \tau(v)$ 且 $\sum_{v \in E^0} \mathcal{F}_{c,\beta}(\tau)(v) = \sum_{v \in E^0} \tau(v)$ 的迹态 $\tau$ 之间存在双射对应。
• 通过条件 $c(e) > 1$ 对所有 $e$ 成立，刻画基态，表明当 $|\mu| > 0$ 或 $|\nu| > 0$ 时 $\phi(s_\mu s_\nu^*) = 0$，且此类基态与在奇异顶点上支撑的迹态之间存在双射对应。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对任意（可能无限的）有向图上的图C*-代数的广义规范作用的KMS态进行分类？
• RQ2 正向边函数 $c:E^1 \to \mathbb{R}^+$ 需满足何种条件，才能保证在给定逆温度 $\beta$ 下存在KMS态？
• RQ3 KMS态在 $C^*(E)$ 上、核心代数 $C^*(E)^\gamma$ 上的态与 $C_0(E^0)$ 上的迹态之间的确切关系为何？
• RQ4 广义规范作用的基态如何产生？其在边权与顶点结构方面的刻画为何？
• RQ5 KMS态的存在性在何种条件下依赖于涉及 $c(e)^{-\beta}$ 的级数收敛性？

主要发现

• 在 $C^*(E)$ 上的广义规范作用的KMS态与满足对所有 $v \in E^0$ 有 $\mathcal{F}_{c,\beta}(\tau)(v) \leq \tau(v)$ 且 $\sum_{v \in E^0} \mathcal{F}_{c,\beta}(\tau)(v) = \sum_{v \in E^0} \tau(v)$ 的 $C_0(E^0)$ 上迹态 $\tau$ 之间存在双射对应。
• 当对所有 $e$ 有 $c(e) > 1$ 时，态 $\phi$ 是 $\sigma$-基态当且仅当对所有 $|\mu| > 0$ 或 $|\nu| > 0$ 有 $\phi(s_\mu s_\nu^*) = 0$，且此类态与在奇异顶点上支撑的 $C_0(E^0)$ 上迹态之间存在双射对应。
• 在 $\mathcal{O}_\infty$ 情况下，若 $c(e_n) = a_n > 1$ 且 $\sum_{n=1}^\infty a_n^{-\beta} = 1$，则对每个 $\beta \geq \beta_0$ 存在唯一KMS态，其中 $\beta_0$ 是方程的解，且存在唯一基态。
• 对于具有无穷多个源的图，若 $\sum_{n=1}^\infty a_n^{-\beta} \tau_{v_n} \leq \tau_{v_0}$ 且 $\sum_{n=1}^\infty a_n^{-\beta} < \infty$，则当 $\beta \geq \beta_0$ 时存在KMS态，且存在无穷多个此类态。
• 当所有顶点均为奇异顶点时，$C_0(E^0)$ 上的每个迹态均对应一个基态，因此基态空间是无限维的。