[论文解读] Koopman principle eigenfunctions and linearization of diffeomorphisms

Ryan Mohr, Igor Mezić|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2016

Model Reduction and Neural Networks参考文献 3被引用 9

一句话总结

本文建立了Koopman算子主特征函数与非线性微分同胚在复有限维Banach空间中双曲不动点附近线性化的拓扑共轭之间的联系。通过从Koopman算子的特征函数构造一个主代数，作者证明了非线性系统的连续可观测量可被具有谱展开的函数一致逼近，从而确保在共轭下拉回代数继承密度性质，依据Stone-Weierstrass定理。

ABSTRACT

This paper considers a nonlinear dynamical system on a complex, finite dimensional Banach space which has an asymptotically stable, hyperbolic fixed point. We investigate the connection between the so-called principle eigenfunctions of the Koopman operator and the existence of a topological conjugacy between the nonlinear dynamics and its linearization in the neighborhood of the fixed point. The principle eigenfunctions generate an algebra of observables for the linear dynamics --- called the principle algebra --- which can be used to generate a sequence of approximate conjugacy maps in the same manner as it is done in normal form theory. Each element of the principle algebra has an expansion into eigenfunctions of the Koopman operator and composing an eigenfunction with one of the approximate topological conjugacies gives an approximate eigenfunction of the Koopman operator associated with the nonlinear dynamical system. When the limit of the approximate conjugacies exists and attention is restricted to real Banach spaces, a simple application of the Stone-Weierstrass theorem shows that both the principle algebra and the pull-back algebra --- defined by composing the principle algebra with the topological conjugacy --- are uniformly dense in either the space of continuous functions or the maximal ideal of continuous functions vanishing at the fixed point. The point is that, a priori, it is difficult to know which space of observables to use for dissipative nonlinear dynamical systems whose elements have spectral expansions into eigenfunctions. These results say that any continuous observable is arbitrarily close to one that has such an expansion.

研究动机与目标

• 研究Koopman主特征函数与非线性微分同胚及其在双曲不动点附近的线性化之间存在拓扑共轭的关系。
• 确定是否存在一个连续函数的子代数，使得其每个元素均可展开为Koopman算子特征函数的谱展开。
• 分析线性化系统下的主代数与非线性系统在拓扑共轭下的拉回代数之间的关系。
• 证明在实Banach空间假设及紧邻域限制下，主代数的均匀闭包在连续函数空间或在不动点处消失的最大理想中是稠密的。

提出的方法

• 本文从双曲不动点处线性化微分同胚的Koopman算子特征函数出发，构造一个主代数。
• 利用正规型理论，通过Banach空间值多项式生成一系列坐标变换，逐步将动力系统线性化至更高阶项。
• 通过将主代数与Banach空间的张量积迭代构造拓扑共轭，确保在非共振条件下收敛。
• 通过将主代数中的函数与共轭映射的逆复合，形成拉回代数，保持共轭下特征函数结构的不变性。
• 在不动点的紧邻域上应用Stone-Weierstrass定理，建立主代数及其拉回代数在连续函数空间中的均匀稠密性。
• 该方法依赖于可观测量的谱展开以及特征函数在共轭下的不变性，从而实现对任意连续可观测量的谱分解函数逼近。

实验结果

研究问题

• RQ1 在状态空间上是否存在一个连续函数的子代数，使得其每个元素均可展开为线性化系统下Koopman特征函数的谱展开？
• RQ2 在存在拓扑共轭的前提下，该结论对非线性系统是否同样成立？
• RQ3 在这样的共轭下，线性系统的主代数与非线性系统的拉回代数之间存在何种关系？
• RQ4 在何种条件下，主代数的均匀闭包在连续函数空间或在不动点处消失的最大理想中是稠密的？
• RQ5 非线性系统的任意连续可观测量是否可被具有Koopman特征函数谱展开的函数一致逼近？

主要发现

• Koopman算子的主特征函数生成一个交换代数（即主代数），其所有元素均支持谱展开。
• 当系统为实的且有限维，且共轭通过正规型理论构造时，主代数分离点，并在复共轭下封闭。
• 在不动点的紧邻域上，主代数的均匀闭包等于复连续函数空间（若包含常数）或在不动点处消失的连续函数的最大理想。
• 通过将主代数与拓扑共轭的逆复合形成的拉回代数，继承了相同的均匀闭包性质，从而确保拉回代数中的每个元素同样具有谱展开。
• 非线性系统的任意连续可观测量可被拉回代数中的函数一致逼近，即可以被具有Koopman特征函数谱展开的函数逼近。
• 该构造保证了当拓扑共轭存在时，可将谱结构从线性系统传递至非线性系统，从而为任意连续可观测量提供谱表示。