[论文解读] Krasinkiewicz spaces and parametric Krasinkiewicz maps

Eiichi Matsuhashi, Vesko Valov|ArXiv.org|Feb 29, 2008

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用 4

一句话总结

该论文证明了：对于一个完美映射 $ f: X \to Y $，其中 $ Y $ 为强可数维空间或 $ C $-空间，且 $ M $ 为 Krasinkiewicz 完备 $ ANR $-空间，则在源限制拓扑下，函数空间 $ C(X,M) $ 包含一个在 $ g $ 上的稠密 $ G_\delta $-集，使得每个限制 $ g|f^{-1}(y) $ 均为 Krasinkiewicz 映射。当 $ X $ 为 $ C $-空间且 $ M $ 为巴拿ach空间中的闭凸子集时，该结果仍成立。

ABSTRACT

We say that a metrizable space $M$ is a Krasinkiewicz space if any map from a metrizable compactum $X$ into $M$ can be approximated by Krasinkiewicz maps (a map $g\colon X o M$ is Krasinkiewicz provided every continuum in $X$ is either contained in a fiber of $g$ or contains a component of a fiber of $g$). In this paper we establish the following property of Krasinkiewicz spaces: Let $f\colon X o Y$ be a perfect map between metrizable spaces and $M$ a Krasinkiewicz complete $ANR$-space. If $Y$ is a countable union of closed finite-dimensional subsets, then the function space $C(X,M)$ with the source limitation topology contains a dense $G_δ$-subset of maps $g$ such that all restrictions $g|f^{-1}(y)$, $y\in Y$, are Krasinkiewicz maps. The same conclusion remains true if $M$ is homeomorphic to a closed convex subset of a Banach space and $X$ is a $C$-space.

研究动机与目标

• 通过完美映射对 Krasinkiewicz 空间及其在参数化限制下的稳定性进行刻画。
• 在 $ C(X,M) $ 中建立具有稠密 $ G_\delta $-子集的映射存在的结论，其在纤维 $ f^{-1}(y) $ 上的限制为 Krasinkiewicz 映射。
• 将 Krasinkiewicz 映射理论扩展至涉及 $ C $-空间与完备 $ ANR $-空间的参数化情形。
• 识别在源限制拓扑下，函数空间中可构造 Krasinkiewicz 映射的条件。
• 通过 Krasinkiewicz 子空间的开覆盖，对 Krasinkiewicz 空间提供拓扑刻画。

提出的方法

• 将 Krasinkiewicz 映射定义为：其定义域中的每个连通集要么完全包含于某个纤维中，要么包含某个纤维的某个连通分支。
• 在 $ C(X,M) $ 上使用源限制拓扑，该拓扑由连续函数 $ \varepsilon: X \to (0,1] $ 定义，确保当 $ M $ 为完备度量空间时具有 Baire 性质。
• 引入集合 $ \mathcal{K}(m,n,y) $，以捕捉在 $ g $ 下，$ f^{-1}(y) $ 中纤维的连通分支与子连通集之间均匀接近的映射。
• 证明 $ \mathcal{K}(H) = \bigcap_{m,n} \mathcal{K}(m,n,H) $，从而表明所求集合具有 $ G_\delta $-结构。
• 利用 $ ANR $-扩张性质及开子集的 Krasinkiewicz 性质，证明集合 $ H_y $ 在 $ C(X,M) $ 中的稠密性与开性。
• 应用 Baire 族定理，得出稠密 $ G_\delta $-集的交集仍为稠密 $ G_\delta $-集，从而得出主要结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，函数空间 $ C(X,M) $ 包含一个稠密 $ G_\delta $-集的映射，使得其在纤维 $ f^{-1}(y) $ 上的限制为 Krasinkiewicz？
• RQ2 空间 $ Y $ 的拓扑性质（如强可数维或 $ C $-空间）如何影响此类映射的存在性？
• RQ3 在参数化 Krasinkiewicz 映射的背景下，$ K $-空间与 $ ANR $-空间之间存在何种关系？
• RQ4 当 $ M $ 为巴拿ach空间中的闭凸子集时，Krasinkiewicz 性质是否在完美映射下保持不变？
• RQ5 哪些空间不能成为 Krasinkiewicz 空间？何种拓扑障碍会阻止投影通过 Krasinkiewicz 映射逼近？

主要发现

• 对于一个完美映射 $ f: X \to Y $，其中 $ Y $ 为强可数维空间，且 $ M $ 为完备 $ ANR $-空间且为 Krasinkiewicz 空间，则 $ C(X,M) $ 包含一个稠密 $ G_\delta $-集的映射 $ g $，使得每个 $ g|f^{-1}(y) $ 均为 Krasinkiewicz 映射。
• 当 $ M $ 为巴拿ach空间中的闭凸子集且 $ X $ 为 $ C $-空间时，若 $ Y $ 为 $ C $-空间，则该结论仍成立。
• 一个完备 $ ANR $ 是 Krasinkiewicz 空间当且仅当它存在一个由 Krasinkiewicz 子空间构成的开覆盖。
• 所有 $ n $-维流形（$ n \geq 1 $）、紧致多面体以及一维 Peno 连通集均为 Krasinkiewicz 空间。
• 不可分解的遗传性连通集不能是 Krasinkiewicz 空间，如当 $ Y $ 的某个开子集中无弧时，投影 $ p: Y \times \mathbb{I} \to Y $ 无法被 Krasinkiewicz 映射逼近。
• 对于不含孤立点的完备多面体 $ P $，函数空间 $ C(X,P) $ 包含一个稠密 $ G_\delta $-集的映射 $ g $，使得 $ g|f^{-1}(y) $ 同时为 Krasinkiewicz 映射与 Bing 映射，当 $ Y $ 为强可数维空间或 $ C $-空间时。