[论文解读] Krylov Complexity in Quantum Field Theory

Kiran Adhikari, Sayantan Choudhury+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2022

Quantum Mechanics and Applications被引用 5

一句话总结

本文引入了Krylov复杂度作为量子场论（QFT）中算符演化复杂度的非模糊度量，表明当Krylov基与Fock基对齐时，其与平均粒子数一致——表明具有体积标度特性。在自由标量场论中，Krylov复杂度表现出与全息‘复杂度=体积’猜想的定性相似性，暗示了QFT中的复杂度与体格引力物理之间存在深层联系。

ABSTRACT

In this paper, we study the Krylov complexity in quantum field theory and make a connection with the holographic "Complexity equals Volume" conjecture. When Krylov basis matches with Fock basis, for several interesting settings, we observe that the Krylov complexity equals the average particle number showing that complexity scales with volume. Using similar formalism, we compute the Krylov complexity for free scalar field theory and find surprising similarities with holography. We also extend this framework for field theory where an inverted oscillator appears naturally and explore its chaotic behavior.

研究动机与目标

• 将Krylov复杂度确立为量子场论中稳健且非模糊的复杂度度量，避免尼尔斯en电路复杂度的模糊性。
• 研究QFT中的Krylov复杂度是否表现出与全息‘复杂度=体积’猜想一致的标度行为。
• 计算自由标量场论中的Krylov复杂度，并与全息预测进行比较。
• 利用Krylov复杂度作为探测工具，研究包含倒置振子的场论中的混沌动力学。

提出的方法

• 通过Liouvillian超算符 $\mathcal{L}_H$ 形式化Krylov复杂度，该算符通过嵌套对易子生成Heisenberg算符的时间演化。
• 利用Lanczos算法作用于Liouvillian，构建正交化的Krylov基，实现在算符希尔伯特空间截断后的幺正演化。
• 将Krylov复杂度定义为 $K = \sum_n n |\phi_n(t)|^2$，其中 $\phi_n(t)$ 为时间演化算符在Krylov基展开中的振幅。
• 通过将理论离散化为耦合谐振子，利用本征模分解求解，在晶格上的自由标量场论中计算Krylov复杂度。
• 使用Wightman范数定义算符空间中的内积，确保在非厄米或非正交初始态下Lanczos过程的一致性。
• 通过分析Lanczos系数 $b_n$ 探测混沌行为，线性增长 $b_n \leq \epsilon n + \eta$ 表明类似李雅普诺夫的混沌。

实验结果

研究问题

• RQ1 QFT中的Krylov复杂度是否如‘复杂度=体积’猜想所预测的那样与体积成标度关系？
• RQ2 自由标量场论中的Krylov复杂度与全息复杂度预测相比如何？
• RQ3 在何种条件下Krylov基与Fock基重合？这对其复杂度标度意味着什么？
• RQ4 Krylov复杂度能否探测到具有倒置振子势的场论中的混沌动力学？
• RQ5 Krylov复杂度是否是高能与引力物理中尼尔斯en电路复杂度的可行且非模糊的替代方案？

主要发现

• 当Krylov基与Fock基重合时，Krylov复杂度等于平均粒子数，为QFT中体积标度提供了直接联系。
• 在晶格上的自由标量场论中，Krylov复杂度在时间演化特性上与全息复杂度表现出定性一致。
• Lanczos算法成功利用Wightman范数构建了稳定的正交化Krylov基，使场论设定下的复杂度数值计算成为可能。
• Lanczos系数 $b_n$ 展现出线性增长 $b_n \leq \epsilon n + \eta$，表明含倒置振子的系统中存在混沌动力学。
• 从Lanczos系数中提取出李雅普诺夫指数 $\gamma = 2\epsilon$，证实该方法能够探测场论中的量子混沌。
• Krylov复杂度通过独立于门选择、参考态和容差参数，避免了尼尔斯en电路复杂度的模糊性。