[论文解读] Kuranishi homology and Kuranishi cohomology: a User's Guide

Dominic Joyce|ArXiv.org|Oct 30, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文引入了Kuranishi同调与上同调作为新的轨道丛同调理论，利用带有规范固定映射的紧致、定向Kuranishi空间所构建的链复形。证明了Kuranishi同调同构于奇异同调，Kuranishi上同调同构于紧支集上同调，提供了一个简化辛几何中虚拟圈构造的框架，无需扰动。

ABSTRACT

A Kuranishi space is a topological space with a Kuranishi structure, defined by Fukaya and Ono. Kuranishi structures occur naturally on moduli spaces of J-holomorphic curves in symplectic geometry. This paper is a brief introduction to the author's book arXiv:0707.3572. Let Y be an orbifold and R a Q-algebra. We define the Kuranishi homology KH_*(Y;R) of Y with coefficients in R. The chain complex KC_*(Y;R) defining KH_*(Y;R) is spanned over R by [X,f,G], for X a compact oriented Kuranishi space with corners, f : X --> Y smooth, and G "gauge-fixing data" which makes Aut(X,f,G) finite. Our main result is that KH_*(Y;R) is isomorphic to singular homology. We define a Poincare dual theory of Kuranishi cohomology KH^*(Y;R), isomorphic to compactly-supported cohomology, using a cochain complex KC^*(Y;R) spanned over R by [X,f,C], for X a compact Kuranishi space with corners, f : X --> Y a submersion, and C "co-gauge-fixing data". We also define simpler theories of Kuranishi bordism KB_*(Y;R) and Kuranishi cobordism KB^*(Y;R), for R a commutative ring. These are new topological invariants, and we show they are very large. These theories are powerful new tools in symplectic geometry. Defining virtual cycles and chains for moduli spaces of J-holomorphic curves is trivial in Kuranishi (co)homology. There is no need to perturb moduli spaces, and no problems with transversality. This gives major simplifications in Lagrangian Floer cohomology.

研究动机与目标

• 开发一种新的同调理论——Kuranishi同调——用于轨道丛，基于带有规范固定数据的Kuranishi空间。
• 建立Kuranishi同调与奇异同调之间的同构关系，以及Kuranishi上同调与紧支集上同调之间的同构关系。
• 引入Kuranishi bordism与cobordism作为研究Gromov–Witten不变量的有力工具，避免使用有理系数。
• 提供一个直接在Kuranishi（上） bordism中定义Gromov–Witten不变量的框架，绕过模空间的扰动。
• 通过捕捉轨道丛层面上的有理贡献，支持Gopakumar–Vafa整数性猜想，将其纳入整数不变量中。

提出的方法

• 通过由等价类 [X, f, G] 生成的链复形定义Kuranishi同调，其中 X 是带有角的紧致、定向Kuranishi空间，f: X → Y 是强光滑映射，G 是规范固定数据，确保有限自同构群。
• 利用带有共定向强子淹没映射和共规范固定数据的上链复形构造Kuranishi上同调。
• 通过链复形层次的构造，证明Kuranishi同调 KH_*(Y;ℚ) 同构于奇异同调 H_*^si(Y;ℚ)。
• 建立Kuranishi同调与上同调之间的庞加莱对偶性，证明 KH^*(Y;ℚ) ≅ H^*_cs(Y;ℚ)。
• 为交换环 R 定义 Kuranishi bordism KB_*(Y;R) 与 cobordism KB^*(Y;R)，使用在 bordism 下的等价类。
• 利用带有奇数阶群 Γ 的轨道丛层构造 X^{Γ,ρ}，定义投影映射，并证明在 ℤ 上 Kuranishi（上）bordism 群的无限生成性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于带有规范固定数据的Kuranishi空间，构造出轨道丛的良定义同调理论？
• RQ2 Kuranishi同调是否同构于奇异同调，Kuranishi上同调是否同构于紧支集上同调？
• RQ3 Kuranishi bordism 能否提供捕捉轨道丛层面上有理贡献的整数型Gromov–Witten不变量？
• RQ4 在 ℤ 上 Kuranishi（上）bordism 群的无限生成性是否反映了Gromov–Witten不变量更深层的整数性质？
• RQ5 该框架能否替代辛拓扑中基于扰动的虚拟圈构造？

主要发现

• Kuranishi同调 KH_*(Y;ℚ) 同构于奇异同调 H_*^si(Y;ℚ)，Kuranishi上同调 KH^*(Y;ℚ) 同构于紧支集上同调 H^*_cs(Y;ℚ)。
• 对于所有 k ∈ ℤ，当 Y 是非空、连通的轨道丛时，Kuranishi bordism 群 KB_*(Y;ℤ) 在 ℤ 上无限生成。
• 对于维数为 n 的定向轨道丛 Y，对所有 k ∈ ℤ，Kuranishi cobordism 群 KB^{n-2k}(Y;ℤ) 在 ℤ 上无限生成。
• 对于有限群 Γ 满足 |Γ| 为奇数，且非平凡虚表示 ρ，类 C^{Γ,ρ} ∈ KB_{dim ρ}(Y;ℤ) 在 ℤ 上线性无关。
• 在 Kuranishi bordism KB_*(M^m;ℤ) 中定义的 Gromov–Witten 不变量比其奇异同调对应物包含更多信息，包括来自轨道丛层的贡献。
• 该框架支持无有理系数的整数型 Gromov–Witten 不变量，从而支持 Gopakumar–Vafa 整数性猜想。