[论文解读] L_1 embeddings of the Heisenberg group and fast estimation of graph isoperimetry

Assaf Naor|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2010

Point processes and geometric inequalities参考文献 38被引用 17

一句话总结

本文利用度量几何与Heisenberg群上分析的新技术，建立了离散Heisenberg群嵌入到$L_1$空间时扭曲度的精确定量下界。证明了Heisenberg群中$n \times n \times n$网格上的字度量在$L_1$中的扭曲度至少为$\gtrsim (\log n)^c$，且任何$1$-Lipschitz映射到$L_1$的压缩率满足$\omega_f(t) \lesssim t / (\log t)^c$，从而解决了稀疏割问题与双Lipschitz嵌入理论中的关键问题。

ABSTRACT

We survey connections between the theory of bi-Lipschitz embeddings and the Sparsest Cut Problem in combinatorial optimization. The story of the Sparsest Cut Problem is a striking example of the deep interplay between analysis, geometry, and probability on the one hand, and computational issues in discrete mathematics on the other. We explain how the key ideas evolved over the past 20 years, emphasizing the interactions with Banach space theory, geometric measure theory, and geometric group theory. As an important illustrative example, we shall examine recently established connections to the the structure of the Heisenberg group, and the incompatibility of its Carnot-Carathéodory geometry with the geometry of the Lebesgue space $L_1$.

研究动机与目标

• 建立离散Heisenberg群$\mathbb{H}(\mathbb{Z})$到具有非原子测度的$L_1(\mu)$空间的定量不可嵌入结果。
• 解决$L_1$不可嵌入性与组合优化中稀疏割问题之间的联系。
• 在Heisenberg群中发展度量微分与割测度的定量理论，克服无限情形中不存在的有限化问题。
• 证明Heisenberg群的Carnot-Carathéodory度量几何与$L_1$几何不相容，即使在非原子$\mu$的$L_1(\mu)$设定下亦然。

提出的方法

• 利用Cheeger与Kleiner提出的新颖Lipschitz映射从Heisenberg群到$L_1(\mu)$的可微性概念，证明不可嵌入性。
• 应用Heisenberg群中的周长界与等周不等式，控制$L_1$-值映射的水平集的测度结构。
• 引入一个定量非单调性泛函$\mathrm{NM}_{B(x,r)}(E)$，以衡量集合$E$在球内偏离半空间的程度。
• 证明一个稳定性结果（定理5.3）：非单调性较小的集合在测度上接近于半空间，误差可控。
• 通过几乎单调集合的分类，将问题约化为分析支持在几乎半空间上的割测度。
• 运用几何论证表明，Heisenberg群中的竖直线度量不与满足加法条件$\|f(x_1)-f(x_2)\|_1 + \|f(x_2)-f(x_3)\|_1 = \|f(x_1)-f(x_3)\|_1$的度量双Lipschitz等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$L_1$嵌入下，Heisenberg群中$n \times n \times n$网格的最优扭曲度是多少？其随$n$如何变化？
• RQ2 能否对从$\mathbb{H}(\mathbb{Z})$到$L_1(\mu)$的$1$-Lipschitz映射$f$的压缩率$\omega_f(t)$进行定量有界？
• RQ3 在测度与非单调性意义上，Heisenberg群中的集合能在多大程度上被半空间逼近？
• RQ4 Carnot-Carathéodory几何在何种程度上阻碍$L_1$嵌入，即使可微性定理失效？
• RQ5 周长界与度量微分如何结合，以获得有限情形下的不可嵌入结果？

主要发现

• 任何$L_1(\mu)$嵌入下，Heisenberg群中$n \times n \times n$网格的扭曲度至少为$\gtrsim (\log n)^c$（$c > 0$为绝对常数），建立了强有力的定量下界。
• 对任意$1$-Lipschitz映射$f: \mathbb{H}(\mathbb{Z}) \to L_1(\mu)$，其压缩率满足对所有$t \geq 2$有$\omega_f(t) \lesssim t / (\log t)^c$，其中$c > 0$为绝对常数。
• 若非单调性满足$\mathrm{NM}_{B(x,r)}(E) \leq \varepsilon^a$，则$E$在半径为$\varepsilon r$的更小球上以$\varepsilon^{1/3}$的测度距离接近于一个半空间，证明了几乎单调集合的稳定性结果。
• 证明的最后阶段避免依赖周长界，通过将几乎单调集合分类为接近半空间，从而与竖直线的内在几何产生矛盾。
• Heisenberg群中竖直线的内在度量不与任何满足$L_1$-值映射中割测度支持于半空间所要求的加法条件的度量双Lipschitz等价。
• 结果表明，Heisenberg群的几何本质上与$L_1$几何不相容，即使在非原子$L_1(\mu)$设定下亦然，从而解决了度量嵌入与优化领域长期悬而未决的开放问题。