[论文解读] $L^1$-Minimization for Mechanical Systems

Zheng Chen, Jean‐Baptiste Caillau+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

Optimization and Variational Analysis参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文研究了具有势能驱动漂移的二阶机械系统中的$L^1$-最小化问题，聚焦于最小化燃料消耗的最优控制策略。通过无折返条件，建立了分段极值曲线的充分最优性条件，并分析了二阶奇异轨迹，详细处理了二体问题，并在天体力学中进行了数值验证。

ABSTRACT

Second order systems whose drift is defined by the gradient of a given potential are considered, and minimization of the $L^1$-norm of the control is addressed. An analysis of the extremal flow emphasizes the role of singular trajectories of order two [25,29]; the case of the two-body potential is treated in detail. In $L^1$-minimization, regular extremals are associated with controls whose norm is bang-bang; in order to assess their optimality properties, sufficient conditions are given for broken extremals and related to the no-fold conditions of [20]. An example of numerical verification of these conditions is proposed on a problem coming from space mechanics.

研究动机与目标

• 研究二阶机械系统中由势能梯度驱动的漂移时的$L^1$-最小化问题。
• 分析在空间任务设计背景下，二阶奇异轨迹在最优控制中的作用。
• 利用无折返条件，推导$L^1$-最小化问题中分段极值曲线的充分最优性条件。
• 为天体力学背景下最优性条件的数值验证提供框架。
• 通过分析控制的稀疏性与结构，将$L^1$-最小化的适用性扩展至低推力空间任务。

提出的方法

• 应用最大值原理，推导机械系统$L^1$-最小化问题的最优性必要条件。
• 将正则极值曲线表征为具有bang-bang控制结构，其范数在零与约束边界之间切换。
• 引入并分析二阶奇异轨迹，其源于哈密顿函数与控制约束的结构。
• 将[20]中的无折返条件用作$L^1$设定下分段极值曲线最优性的充分条件。
• 采用辛几何与变分框架，结合线性化系统与基本解$\Phi_t$，验证横截性与非共轭性。
• 通过正则化过程与拉格朗日子流形技术，在最小假设下建立$C^0$-局部最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 二阶奇异轨迹如何影响$L^1$-最小化机械系统中最优控制的结构？
• RQ2 在具有二阶动力学的$L^1$-最小化问题中，分段极值曲线的最优性充分条件是什么？
• RQ3 无折返条件能否被数值验证并应用于天体力学问题中以验证最优性？
• RQ4 控制的稀疏性（零控制与bang控制阶段）如何从机械系统中$L^1$-范数最小化中产生？
• RQ5 在最优低推力空间任务中，恒定质量模型在多大程度上可近似全质量变化问题？

主要发现

• 本文证明，在机械系统的$L^1$-最小化中，正则极值曲线与bang-bang控制相关联，其范数在零与最大允许值之间切换。
• 二阶奇异轨迹在极值流中起着关键作用，尤其在二体问题等系统中。
• 通过[20]中的无折返条件，推导出分段极值曲线的充分最优性条件，并在天体力学实例中进行了数值验证。
• 非共轭性条件(B1)可通过沿参考极值曲线的变分系统进行秩检验实现数值验证。
• 在不依赖勒让德型条件的前提下，证明了极值曲线的$C^0$-局部最优性，其依据为辛几何与拉格朗日子空间的横截性。
• 该框架允许构造一个拉格朗日子流形$\mathscr{L}_0$，使得庞加莱-卡当形式为恰当形式，从而在较弱假设下保证局部最优性。