[论文解读] $L^2$ Curvature Bounds on Manifolds with Bounded Ricci Curvature

Wenshuai Jiang, Aaron Naber|arXiv (Cornell University)|May 18, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用 16

一句话总结

本文证明了具有有界里奇曲率和非坍塌体积的黎曼流形的 $L^2$ 曲率界猜想，确立了里曼曲率张量的 $L^2$ 范数是统一有界的。此外，还表明在 Gromov-Hausdorff 极限空间中的奇点集是 $n-4$ 可矩的，且具有有限的 $H^{n-4}$ 测度，证实了 $n-4$ 有限性猜想，并表明几乎每个切锥都同构于 $\mathbb{R}^{n-4} \times C(S^3/\Gamma)$。

ABSTRACT

Consider a Riemannian manifold with bounded Ricci curvature $|\Ric|\leq n-1$ and the noncollapsing lower volume bound $\Vol(B_1(p))> v>0$. The first main result of this paper is to prove that we have the $L^2$ curvature bound $\fint_{B_1(p)}|\Rm|^2 < C(n, v)$, which proves the $L^2$ conjecture. In order to prove this, we will need to first show the following structural result for limits. Namely, if $(M^n_j,d_j,p_j) \longrightarrow (X,d,p)$ is a $GH$-limit of noncollapsed manifolds with bounded Ricci curvature, then the singular set $\cS(X)$ is $n-4$ rectifiable with the uniform Hausdorff measure estimates $H^{n-4}\big(\cS(X)\cap B_1\big)

研究动机与目标

• 为满足 $|\mathrm{Ric}| \leq n-1$ 且 $\mathrm{Vol}(B_1(p)) > \mathrm{v} > 0$ 的黎曼流形建立里曼曲率张量的 $L^2$ 有界性。
• 证明此类流形的 Gromov-Hausdorff 极限中奇点集是 $n-4$ 可矩的，且具有有限的 $H^{n-4}$ 测度。
• 证实切赫与科林的 $n-4$ 有限性猜想，适用于有界里奇曲率的非坍塌流形的极限。
• 证明在奇点集的 $n-4$-几乎处处，切锥是唯一的，且同构于 $\mathbb{R}^{n-4} \times C(S^3/\Gamma)$，其中 $\Gamma \subseteq O(4)$ 为某有限群。

提出的方法

• 使用颈部分解定理，用 $(\delta,\tau)$-颈部区域覆盖流形，其中曲率受控，几何结构近似为积形式。
• 利用调和函数理论和 $\epsilon$-正则性定理，在颈部区域上建立 $\mathcal{H}$-体积和局部 $L^2$ 曲率估计。
• 应用 $\delta$-分裂函数和调和半径估计以控制曲率，并证明 Reifenberg 型正则性。
• 在颈部区域上证明下阿爾福斯正则性和体积比较估计，以控制奇点集的 $H^{n-4}$ 测度。
• 使用归纳法和迭代覆盖方案构造最大颈部区域，并改进分解。
• 利用颈部分解和切锥分析，证明 $n-4$-几乎处处的切锥是唯一的，且具有形式 $\mathbb{R}^{n-4} \times C(S^3/\Gamma)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设有界拓扑或直径的条件下，具有有界里奇曲率和非坍塌体积的黎曼流形是否满足 $L^2$ 曲率界？
• RQ2 此类流形的 Gromov-Hausdorff 极限中奇点集是否为 $n-4$ 可矩的，且具有有限的 $H^{n-4}$ 测度？
• RQ3 在 $n-4$-几乎处处的奇点处，切锥是否唯一且同构于 $\mathbb{R}^{n-4} \times C(S^3/\Gamma)$（$\Gamma \subseteq O(4)$）？
• RQ4 仅在有界里奇曲率和非坍塌体积条件下，切赫与科林的 $n-4$ 有限性猜想是否可被证明？
• RQ5 当仅假设里奇曲率和体积有界时，极限空间中奇点集的结构是什么？

主要发现

• $L^2$ 曲率界成立：对所有满足 $|\mathrm{Ric}| \leq n-1$ 且 $\mathrm{Vol}(B_1(p)) > \mathrm{v} > 0$ 的流形中的点 $p$，有 $\fint_{B_1(p)} |\mathrm{Rm}|^2(x)\,dx < C(n,\mathrm{v})$，从而证明了 $L^2$ 猜想。
• 在 Gromov-Hausdorff 极限空间 $X$ 中，奇点集 $\mathcal{S}(X)$ 是 $n-4$ 可矩的，且满足 $H^{n-4}(\mathcal{S}(X) \cap B_1) < C(n,\mathrm{v})$，从而证实了 $n-4$ 有限性猜想。
• 对 $n-4$-几乎处处的 $x \in \mathcal{S}(X)$，在 $x$ 处的切锥是唯一的，且同构于 $\mathbb{R}^{n-4} \times C(S^3/\Gamma_x)$，其中 $\Gamma_x \subseteq O(4)$ 为在原点外自由作用的有限群。
• 奇点集的 $H^{n-4}$ 测度由仅依赖于 $n$ 和体积下界 $\mathrm{v}$ 的维数常数控制。
• 该证明表明，在给定假设下，$L^2$ 曲率界是自动成立的，解决了安德森在四维情形的猜想，并将其推广至高维。
• 奇点集的结构被完全刻画：其为可矩集，$H^{n-4}$ 测度有限，且几乎所有切锥均为 $\mathbb{R}^{n-4}$ 与球面商的度量锥的积。