[论文解读] L'Algebre Tropicale Comme Algebre De la Caracteristique 1 : Polynomes Rationnels Et Fonctions Polynomiales

D. Castellà|ArXiv.org|Sep 1, 2008

Polynomial and algebraic computation参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文通過證明在 tropically 定義的超曲面上，多項式函數的代數同構於由定義多項式生成的理想之多項式環的商環，建立了在 tropically 半域（特別是 max-plus 實數）上多項式函數與有理函數之間的對應關係。本文證明：若兩個 tropically 多項式具有相同的零點集，則其中一個整除另一個的某次冪，從而將古典代數幾何的對偶性推廣至 tropically 設定。

ABSTRACT

We continue, in this second article, the study of the the algebraic tools which play a role in tropical algebra. We especially examine here the polynomial algebras over idempotent semi-fields. this work is motivated by the development of tropical geometry which appears to be the algebraic geometry of tropical algebra. In fact, the most interesting object is the image of a polynomial algebra in its semi-field of fractions. We can thus obtain, over good semi-fields, the analog of classical correpondences between polynomials, and varieties of zeros... For example, we show that the algebras of polynomial functions over a tropical curves associated to a polynomial P, is, as in classical algebraic geometry, the quotient of the polynomial algebra by the ideal generated by P.

研究动机与目标

• 透過研究在冪等半域上的多項式代數，發展 tropically 清除幾何的代數工具。
• 釐清 tropically 代數中多項式函數、有理函數與零點集之間的關係。
• 將古典代數幾何中的對應關係（如理想-代數集對偶性）推廣至 tropically 設定。
• 證明在 tropically 超曲面上的多項式函數環同構於由定義多項式生成的理想之多項式環的商環。
• 建立兩條 tropically 多項式定義相同零點集之條件的特徵化，即透過冪的可除性。

提出的方法

• 使用特徵 1 的 quasi-ring 與 quasi-field 框架，特別是如 max-plus 實數之類的冪等半域。
• 將有理函數定義為在分數半域中具有相同像的多項式之等價類。
• 應用交換半群中 quasi-逆與正交性的概念，以建構代數設定。
• 運用在 Newton 多面體上的圖論論證，比較空間不同區域中多項式的項。
• 使用稠密子集上的點態相等性質，將其推廣至 tropically 多項式環中的全域相等性。
• 對圖中路徑長度使用遞歸論證，以證明項的比值受有理冪次有界，進而導致在取共同冪次後產生可除性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何將古典代數幾何中的理想-代數集對應關係適應於特徵 1 的半域上的 tropically 清除幾何？
• RQ2 在多項式環不可消去的情況下，代表 tropically 代數中多項式函數的正確代數物件為何？
• RQ3 在何種條件下，兩個 tropically 多項式會定義相同的零點集？
• RQ4 能否從零點集重建 tropically 多項式（至多一個冪次），若能，如何實現？
• RQ5 有理函數在捕捉 tropically 超曲面的函數結構中扮演何種角色？

主要发现

• 由多項式 P 定義的 tropically 超曲面上的多項式函數環同構於多項式環模由 P 生成的理想。
• 若兩個 tropically 多項式 P 與 Q 有相同的零點集，則 Q 整除 P 的某次冪，即存在某個 k ∈ ℕ 使得 Q | P^k。
• 對於 P 的零點集中滿足 P(x) ≠ 0 的任一點 x，多項式 A 與 B 在模理想 (P) 下代表相同函數，當且僅當 A(x) = B(x)。
• 在 tropically 多項式環中，理想 (P) 的根等於所有在 V(P) 中點 x 的評估核的交集，即 rad(I) = ⋂_{x∈V(P)} Ker(ε_x)。
• 在空間的每個區域 A_i 上，兩項多項式之比可被有理冪次有界，進而存在一統一指數 k，使得 P^k 在縮放後可被 Q 整除。
• 該構造確保對於任兩個具有相同零點集的多項式，存在一共同冪次，使得其中一個整除另一個，從而廣義化了 tropically 代數中的 Nullstellensatz。