[论文解读] $L^{p}$ Boundedness of Riesz transform related to Schrödinger operators on a manifold

Nadine Badr, Besma Ben Ali|ArXiv.org|Dec 6, 2008

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 2被引用 9

一句话总结

该论文在满足双倍性质和庞加莱不等式的完备黎曼流形上，建立了与薛定谔算子 $-\Delta + V$ 相关的 Riesz 变换在 $L^p$ 空间中的有界性，前提是势能 $V$ 属于反 Hölder 类 $RH_q$。通过改进的 Fefferman-Phong 不等式、Calderón-Zygmund 分解以及复插值方法，作者将 $L^p$ 估计扩展至 $p > 2$，并以 $\|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ 表示 $\|\nabla u\|_p$ 和 $\|V^{1/2}u\|_p$ 的精确估计，其应用涵盖多项式增长的李群。

ABSTRACT

We establish various $L^{p}$ estimates for the Schrödinger operator $-Δ+V$ on Riemannian manifolds satisfying the doubling property and a Poincaré inequality, where $Δ$ is the Laplace-Beltrami operator and $V$ belongs to a reverse Hölder class. At the end of this paper we apply our result on Lie groups with polynomial growth.

研究动机与目标

• 将薛定谔算子 $-\Delta + V$ 的 Riesz 变换在一般黎曼流形上 $L^p$ 有界性结果从 $p \leq 2$ 扩展至更广范围。
• 在几何与势能假设尽可能弱的前提下，建立 $\|\nabla u\|_p$ 和 $\|V^{1/2}u\|_p$ 关于 $\|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ 的精确 $L^p$ 估计。
• 将先前关于幂零李群的结果推广至更广泛的具有多项式增长的流形类，且 $V \in RH_q$。
• 通过极大不等式、Calderón-Zygmund 理论与复插值方法，为加权 Sobolev 空间上的 $L^p$ 估计提供统一框架。

提出的方法

• 利用改进的 Fefferman-Phong 不等式控制 $\Delta u$ 与 $Vu$ 在 $L^p$ 范数中的低阶项。
• 应用 Calderón-Zygmund 分解将函数分解并估计 Riesz 变换的弱型 $(1,1)$ 有界性。
• 在 $L^2$ 与弱型 $(1,1)$ 估计之间使用复插值，推导出 $1 < p < 2$ 时的 $L^p$ 估计。
• 在 $V \in RH_q$ 条件下，对 $1 < p < q + \epsilon$ 使用形如 $\|\Delta u\|_p + \|Vu\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)u\|_p$ 的极大不等式。
• 在具有多项式增长的李群上应用 Sobolev 与 Morrey 嵌入定理，将估计扩展至 $p > 2$。
• 依赖于反 Hölder 类的自改善性质，以及在这些群上 $\nabla(-\Delta)^{-1/2}$ 在 $L^p$ 上有界的性质（$1 < p < \infty$）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何与势能条件下，Riesz 变换 $\nabla(-\Delta + V)^{-1/2}$ 在黎曼流形上对 $p > 2$ 有 $L^p$ 有界性？
• RQ2 当 $V \in RH_q$ 时，$\|\nabla u\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ 成立的最优 $p$ 范围为何？
• RQ3 具有多项式增长的李群在无穷远处的维数 $D$ 如何影响 $p > 2$ 时 Riesz 变换的 $L^p$ 有界性？
• RQ4 能否通过插值与分解技术将 $\|\nabla u\|_p$ 与 $\|V^{1/2}u\|_p$ 的 $L^p$ 估计从 $p=2$ 扩展至更广范围？
• RQ5 反 Hölder 条件 $V \in RH_q$ 在 Riesz 变换 $L^p$ 估计的自改善过程中起何种作用？

主要发现

• 对于满足双倍性质 $(D)$ 与庞加莱不等式 $(P_2)$ 的完备黎曼流形，且 $V \in RH_q$，则对 $1 < p < q + \epsilon$ 有 $\|\Delta u\|_p + \|Vu\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)u\|_p$，其中 $\epsilon > 0$ 依赖于 $V$。
• Riesz 变换 $\nabla(-\Delta + V)^{-1/2}$ 在 $L^p$ 上有界，当 $1 < p < \inf(p_0, 2(q + \epsilon))$，其中 $p_0$ 是使得 $\nabla(-\Delta)^{-1/2}$ 在 $L^p$ 上有界的 $p$ 的上确界。
• 当 $V \in RH_q$ 且 $q \geq D$ 时，在具有多项式增长与无穷远处维数 $D$ 的李群上，$\nabla(-\Delta + V)^{-1/2}$ 的 $L^p$ 有界性可扩展至所有 $1 < p < \infty$。
• 在具有多项式增长的李群上，若 $\frac{D}{2} < q < D$，则 $L^p$ 有界性对 $1 < p < q_D^* + \epsilon$ 成立，其中 $q_D^* = \frac{Dq}{D - q}$。
• 在相同假设下，估计 $\|V^{1/2}u\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ 对 $1 < p < 2(q + \epsilon)$ 成立。
• 本结果推广并扩展了 Li [38] 在幂零李群上的工作，消除了对 $q \geq \frac{D}{2}$ 的限制，并通过插值与分解技术建立了精确的范围。