[论文解读] l2-Betti numbers of discrete and non-discrete groups

Roman Sauer|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用 3

一句话总结

本综述为离散与非离散局部紧群建立了ℓ²-Betti数的理论，通过Lück的维数函数和Petersen的定义，将其推广至经典不变量。该研究证明了局部紧群中格的正比性原理，并计算了如SL₃(ℚₚ)等p进群的非零ℓ²-Betti数，表明其界定了这些格的亏格。

ABSTRACT

This survey is an extended version of a talk during the Arbeitsgemeinschaft on totally disconnected locally compact groups, held in Oberwolfach in October 2014. We explain the definition of l2-Betti numbers of locally compact groups -- both discrete and non-discrete. Specific topics include proportionality principle, dimension function, Petersen's definition for locally compact groups, examples.

研究动机与目标

• 将ℓ²-Betti数的理论从离散群推广至一般的局部紧群。
• 在局部紧群的格的背景下，建立ℓ²-Betti数的正比性原理。
• 通过几何模型和群冯诺依曼代数，计算如SL₃(ℚₚ)等p进李群的ℓ²-Betti数。
• 将ℓ²-Betti数与群不变量（如亏格和欧拉示性数）联系起来。
• 证明ℓ²-Betti数的消失性是拟等距不变量，尽管在拟等距下不变量不保持正比。

提出的方法

• 通过冯诺依曼代数及其半有限测度，利用Petersen的定义，为局部紧单群定义ℓ²-Betti数。
• 应用Lück的维数函数，将ℓ²-Betti数计算为冯诺依曼代数上上同调群的维数。
• 利用几何模型（如Bruhat-Tits建筑物）对p进群进行等变胞覆计数，以计算ℓ²-Betti数。
• 应用正比性原理：对格Γ < G，有βₚ(Γ) = μ(Γ\G) ⋅ βₚ(G,μ)。
• 应用欧拉-庞加莱公式，将ℓ²-Betti数与群的表示式及亏格联系起来。
• 通过商去可解根并利用半单与完全不连通因子的乘积分解，将一般情形约化为完全不连通群的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 ℓ²-Betti数如何从离散群推广至非离散局部紧群？
• RQ2 ℓ²-Betti数的正比性原理是否可从有限指数子群推广至局部紧群中的格？
• RQ3 能否显式计算如SL₃(ℚₚ)等p进李群的ℓ²-Betti数？
• RQ4 ℓ²-Betti数与群的有限表示的亏格之间有何关系？
• RQ5 尽管不变量在拟等距下不保持正比，ℓ²-Betti数的消失性是否在拟等距下保持不变？

主要发现

• 当μ(B) = 1时，对G = SL₃(ℚₚ)，有β₂(G,μ) ≥ 1 − 3/(p+1) > 0，表明在度2上ℓ²-Betti数非零。
• 对格Γ < G = SL₃(ℚₚ)，正比性原理给出β₂(Γ) ≥ (1 − 3/(p+1)) ⋅ μ(Γ\G)。
• 由欧拉-庞加莱公式导出，Γ的亏格有上界1 − (1 − 3/(p+1)) ⋅ μ(Γ\G)。
• 若G的可解根K非紧，则对所有p ≥ 0，有βₚ(G,μ) = 0，推广了Cheeger-Gromov的结果。
• 当可解根紧致时，有βₚ(G,μ) = βₚ(G/K,ν)，从而可约化至可解根平凡的群。
• 当G = H × D，其中H为半单群，D为完全不连通群时，若已知βₚ(D,μ)，则可通过Künneth公式计算βₚ(G,μ)。