[论文解读] La formule des traces locale tordue

Jean-Loup Waldspurger|arXiv (Cornell University)|May 5, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文建立了局部域上半单群的扭曲局部迹公式，通过单位特征 ω 将阿瑟的工作推广到非平凡扭曲的情形。它证明了几何与谱分布之间的等式，涉及 ω-等变轨道积分与温良 ω-表示，从而导出扭曲的 Paley-Wiener 定理，以及在 cuspidal 空间中特征的正交性，扩展了半单群表示理论中的基础结果。

ABSTRACT

The local trace formula gives strong relations between two types of invariant distributions on a reductive group defined over a local field: orbital integrals and characters of representations. For connected reductive groups, the formula was proved by J. Arthur. We extend the formula to twisted spaces, that is, roughly speaking, to non-connected reductive groups. The formula has the same consequences as in the connected case. In particular, we compute the elliptic product of tempered elliptic twisted representations.

研究动机与目标

• 通过单位特征 ω 将阿瑟的局部迹公式推广到扭曲情形。
• 在扭曲空间 ˜G(F) 上建立 ω-等变分布的几何-谱等式。
• 将 Paley-Wiener 定理扩展到局部域（包括非阿基米德与阿基米德情形）的扭曲情况。
• 在 cuspidal 空间 Icusp(˜G(F), ω) 中证明温良 ω-表示特征的正交性。
• 以加权轨道积分与 ω-表示的形式刻画迹公式的谱侧与几何侧。
• 给出 ω-表示特征内积的公式，其表达式涉及稳定迹与稳定子。

提出的方法

• 将 ˜G(F) 上的 ω-等变分布定义为满足 l(gf) = ω(g)⁻¹l(f) 对所有 g ∈ G(F) 的线性泛函。
• 引入两类分布：扭曲轨道积分 I˜G(γ, ω, f) 与 ω-表示的特征 I˜G(˜π, f) = trace(˜π(f))。
• 将几何侧 J˜Ggeom(ω, f1, f2) 构造为对 Levi 子群 ˜M 的加权轨道积分之和，系数涉及相对 Weyl 群。
• 将谱侧 J˜Gspec(ω, f1, f2) 定义为对相同 Levi 子群的求和，包含温良 ω-表示的特征与加权谱项。
• 应用扭曲的 Paley-Wiener 定理（推广至一般 ω）将公式转化为不变形式 I˜Ggeom(ω, f1, f2) = I˜Gdisc(ω, f1, f2)。
• 利用椭圆三元组 (M, σ, ˜r) 与稳定子的理论，通过迹公式与共轭类和计算特征的内积。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单位特征 ω 的扭曲情形下，局部迹公式的正确几何与谱形式是什么？
• RQ2 如何将扭曲的 Paley-Wiener 定理从 ω = 1 的情形推广到任意单位特征 ω？
• RQ3 在 ˜G(F)ell 上，ω-等变 cuspidal 函数空间的内积结构是什么？
• RQ4 ω-表示的特征如何以稳定迹与共轭类的形式分解？
• RQ5 在扭曲情形下，几何侧（加权轨道积分）与谱侧（ω-表示特征）之间的确切关系是什么？

主要发现

• 扭曲局部迹公式建立了几何侧 J˜Ggeom(ω, f1, f2) 与谱侧 J˜Gspec(ω, f1, f2) 之间的等式，将阿瑟的结果推广到扭曲情形。
• 在假设 ZG(F)θ 为紧致的条件下，谱侧 I˜Gdisc(ω, f1, f2) 仅包含温良 ω-表示特征，而几何侧 I˜Ggeom(ω, f1, f2) 是不变加权轨道积分的和。
• 在 ˜G(F)ell 上，两个特征 Θ(˜π˜ρ1, γ) 与 Θ(˜π˜ρ2, γ) 的内积由对正则元素 ˜r ∈ W˜Greg(σ) 的求和给出，系数包含 |det((1−˜r)|A˜GM|) 与稳定子。
• 若关联的三元组 (M1, σ1, ˜r1) 与 (M2, σ2, ˜r2) 不共轭，则内积 (˜π˜ρ1, ˜π˜ρ2)ell 为零。
• 当三元组共轭且 W G0(σ) = {1} 时，内积简化为 |RG(σ)|⁻¹ ∑˜r∈R˜Gess(σ)∩W˜Greg(σ) |det((1−˜r)|A˜GM|) trace(˜ρ1(˜r)) trace(˜ρ2(˜r))。
• Θ(˜π, γ) 在 ˜G(F)ell 上的限制族构成空间 Icusp(˜G(F), ω) 的标准正交基，且每个基元素的范数通过迹公式显式计算得出。