[论文解读] Lagrangian constant cycle subvarieties in Lagrangian fibrations

Hsueh-Yung Lin|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文在具有拉格朗日子丛的超凯勒流形中，利用一个其限制到光滑拉格朗日子纤维上为丰沛的除子类 $ H $，构造了拉格朗日子常循环子簇。关键结果表明，当 $ \dim X = 4 $ 时，此类子簇上支撑的零循环类在 $ \mathrm{CH}_0(X) $ 中关于 $ H $ 和子丛结构至多相差一个标量倍数，从而为博埃维勒-瓦桑类提供了一个零循环的典范推广。

ABSTRACT

We show that the image of a dominant meromorphic map from an irreducible compact Calabi-Yau manifold $X$ whose general fiber is of dimension strictly between $0$ and $\dim X$ is rationally connected. Using this result, we construct for any hyper-Kähler manifold $X$ admitting a Lagrangian fibration a Lagrangian constant cycle subvariety $Σ_H$ in $X$ which depends on a divisor class $H$ whose restriction to some smooth Lagrangian fiber is ample. If $\dim X = 4$, we also show that up to a scalar multiple, the class of a zero-cycle supported on $Σ_H$ in $\mathrm{CH}_0(X)$ depend neither on $H$ nor on the Lagrangian fibration (provided $b_2(X) \ge 8$).

研究动机与目标

• 将 K3 曲面上的博埃维勒-瓦桑典范零循环推广到高维超凯勒流形。
• 在具有拉格朗日子丛的超凯勒流形 $ X $ 中，基于一个除子类 $ H $，构造拉格朗日子常循环子簇 $ \Sigma_{H} \subset X $。
• 证明当 $ \dim X = 4 $ 时，$ \Sigma_H $ 上的零循环类在 $ H $ 和子丛结构（至多相差标量）下是独立的，前提是 $ b_2(X) \geq 8 $。
• 通过此类子簇的存在性，支持 $ \mathrm{CH}_0(X) $ 上的布洛克-贝林森分裂过滤的猜想。

提出的方法

• 利用从卡拉比-丘流形到基空间的支配的有理映射，证明基空间的有理连通性，从而为构造提供基础。
• 应用 Gysin 映射，将 $ \mathrm{CH}_0(\Sigma_H) $ 与 $ \mathrm{CH}_0(X) $ 联系起来，表明 $ \Sigma_H $ 上所有点在 $ X $ 中有理等价。
• 利用 $ \mathrm{CH}_0(X) $ 无挠（由罗伊特曼定理）的事实，明确地定义循环的有理倍数。
• 依赖松本的猜想和 [23, 定理 0.8]，将上同调的消去性提升为 $ \mathrm{CH}_0(X) $ 中的有理等价性。
• 利用光滑纤维 $ F $ 的限制映射 $ j^*: H^2(X,\mathbb{Q}) \to H^2(F,\mathbb{Q}) $ 的秩为 1 的性质，推导出 $ H|_F $ 或其负为丰沛。
• 应用 $ L^2 \cdot H^2 $ 非零且与 $ \Sigma_H $ 上一点的类成比例的事实，利用博埃维勒-波戈莫洛夫形式的非退化性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过拉格朗日子常循环子簇在高维超凯勒流形中构造典范零循环？
• RQ2 在 $ \dim X = 4 $ 时，此类子簇上支撑的零循环类是否依赖于除子类 $ H $ 或子丛结构？
• RQ3 当 $ b_2(X) \geq 8 $ 时，拉格朗日子常循环子簇上一点的类是否与子丛结构无关？
• RQ4 此类子簇的存在性能否支持 $ \mathrm{CH}_0(X) $ 上的布洛克-贝林森分裂猜想？
• RQ5 在 $ \mathrm{CH}_0(X) $ 中，$ H^n \cdot [F] $ 的上同调与代数循环理论行为如何？

主要发现

• 对于任意具有拉格朗日子丛 $ \pi: X \to B $ 的超凯勒流形 $ X $，以及一个满足在光滑纤维 $ F $ 上 $ H|_F $ 丰沛的除子类 $ H \in \mathrm{Pic}(X) $，存在一个支配 $ B $ 的拉格朗日子常循环子簇 $ \Sigma_{\pi,H} \subset X $。
• 所有 $ \Sigma_{\pi,H} $ 上的点在 $ X $ 中有理等价，其在 $ \mathrm{CH}_0(X) $ 中的类等于 $ \frac{1}{\deg(H^n \cdot [F])} \cdot H^n \cdot [F] $。
• 当 $ \dim X = 4 $ 时，若 $ b_2(X) \geq 8 $，则 $ \Sigma_H $ 上的零循环类在 $ H $ 和子丛结构（至多相差标量）下是独立的。
• $ \Sigma_{\pi,H} $ 上一点的类在 $ \mathrm{CH}_0(X) $ 中与 $ H^2 \cdot L^2 $ 成比例，其中 $ L $ 是从基空间拉回的丰沛类。
• 对于两个不同的子丛 $ \pi, \pi' $，其各自 $ \Sigma_H $ 上的零循环类与 $ L^2 \cdot L'^2 $ 成比例，该类非零。
• 该构造通过实现存在维数为 $ n $ 的拉格朗日子常循环子簇，证实了维森猜想 1.2 中 $ i = n $ 的情形。