[论文解读] Lagrangian Probability Distributions of Turbulent Flows

R. Friedrich|ArXiv.org|Jul 3, 2002

Combustion and flame dynamics参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文基于拉格朗日参照系，构建了完全发展湍流的统计理论，推导出N阶联合速度-位置概率密度函数（pdf）演化方程的封闭级数。引入了类似于霍普夫（Hopf）方程的泛函方程，并推导出包含记忆效应和初始条件项的广义福克-普朗克方程，其中漂移与扩散系数以条件概率表示，使系统保持非封闭状态，但为未来闭合近似提供了基础。

ABSTRACT

We outline a statistical theory of turbulence based on the Lagrangian formulation of fluid motion. We derive a hierarchy of evolution equations for Lagrangian N-point probability distributions as well as a functional equation for a suitably defined probability functional which is the analog of Hopf's functional equation. Furthermore, we adress the derivation of a generalized Fokker-Plank equation for the joint velocity - position probability density of N fluid particles.

研究动机与目标

• 基于流体质点的拉格朗日运动，发展完全发展湍流的统计框架。
• 推导拉格朗日描述下N阶联合速度-位置概率分布演化方程的封闭级数。
• 为概率泛函提出一个泛函方程，作为霍普夫泛函方程的拉格朗日类比，用于描述湍流的完整统计状态。
• 研究流体质点动力学是否可建模为具有记忆效应的广义扩散过程。
• 为N阶pdf建立广义福克-普朗克方程，以条件概率形式识别漂移与扩散项。

提出的方法

• 通过格林函数与压强分解重述纳维-斯托克斯方程，推导出N阶拉格朗日概率分布的演化方程级数。
• 引入一种概率泛函形式，其结构与霍普夫的泛函方程类似，为系统完整统计状态提供紧凑表示。
• 应用类似莫里（Mori）投影的泛函形式，导出包含记忆效应和初始条件项的广义福克-普朗克方程。
• 将广义漂移与扩散系数表示为高阶统计量的条件联合概率分布的积分。
• 通过涉及条件概率 $ p^{N+2} $ 的形式展开，在原则上实现级数闭合，但由于对高阶项的依赖，系统仍保持非封闭。
• 通过仔细处理压强项，保持基本对称性（伽利略不变性、标度不变性）和不可压缩性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于拉格朗日视角，利用N阶联合速度-位置pdf，推导出完全发展湍流的封闭形式统计描述？
• RQ2 在拉格朗日框架下，如何构建类似于霍普夫方程的泛函方程，以描述湍流的完整统计状态？
• RQ3 在多粒子湍流中，流体质点的运动在多大程度上可建模为具有记忆效应的广义扩散过程？
• RQ4 广义福克-普朗克方程中，拉格朗日pdf的漂移与扩散系数的结构与形式如何？
• RQ5 如何通过针对条件概率的合适闭合近似，解决级数的非封闭性问题？

主要发现

• 推导出与伦德格伦（Lundgren）和乌利尼奇（Ulinich）在欧拉框架下的结果类比的N阶拉格朗日联合速度-位置概率分布演化方程级数。
• 提出了概率泛函的泛函方程，作为霍普夫泛函方程的拉格朗日对应形式，为湍流提供简洁的统计描述。
• 推导出包含记忆效应和初始条件项的广义福克-普朗克方程，用于建模N阶pdf的时间演化。
• 广义福克-普朗克方程中的漂移与扩散系数以更高阶条件联合概率分布的形式正式表达，导致系统非封闭。
• 该形式保持了关键物理对称性，如伽利略不变性与标度不变性（零粘性时），并通过压强项的恰当处理维持不可压缩性。
• 该框架为未来闭合近似提供了严格基础，其中条件概率分布 $ p^{N+2} $ 被识别为需建模的关键未知量。