[论文解读] Lagrangian submanifolds in the nearly kaehler $s^3 imes s^3$

Bart Dioos, Luc Vrancken+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文分类了近凯勒流形 $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ 中常截面曲率的拉格朗日子流形，证明此类子流形要么完全测地，要么局部同构于五个显式例子之一，包括一个新构造的平坦拉格朗日子环面和两个半径为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 与 $\frac{4}{\sqrt{3}}$ 的非完全测地拉格朗日子球面。该分类依赖于角度函数与近凯勒几何中的曲率分析，其中达布定理不适用。

ABSTRACT

In this paper, we investigate Lagrangian submanifolds in the nearly Kaehler $S^3 imes S^3$. We construct a new example which is a at Lagrangian torus. We give a complete classification of all the Lagrangian immersions of spaces of constant sectional curvature in the nearly Kaehler $S^3 imes S^3$.

研究动机与目标

• 对近凯勒 $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ 中所有空间形式（常截面曲率）的拉格朗日浸入进行分类。
• 构造拉格朗日子流形的新例子，特别是平坦拉格朗日子环面。
• 确定嵌入在 $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ 中的圆拉格朗日子球面可能的半径。
• 理解近凯勒结构对拉格朗日子流形施加的几何约束，尤其是在无达布定理的情况下。

提出的方法

• 作者引入一个局部标架与三个角度函数，通过几乎积结构 $P$ 编码 $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ 中拉格朗日子流形的几何性质。
• 他们利用高斯方程将截面曲率表示为角度函数的函数，推导出当 $i \neq j$ 时有 $K = \frac{5}{12} + \frac{1}{3}\cos(2(\theta_i - \theta_j))$。
• 分类通过分析涉及角度差的三角函数表达式是否为零的情况展开，例如 $\sin(2\theta_i - \theta_j - \theta_k) = 0$ 或 $\cos(\theta_i - \theta_j) = 0$。
• 他们分析常截面曲率对角度函数的影响，表明非恒定角度将导致矛盾，除非子流形完全测地。
• 该方法依赖于由结构方程导出的微分方程，特别是 $E_i(\theta_j + \theta_k) = 0$ 与 $E_i(\theta_j - \theta_k) = 0$，以约束角度函数的行为。
• 通过将非完全测地情形的结果与 Zhang-Hu-Dioos-Vrancken-Wang 关于完全测地拉格朗日子流形的已知结果相结合，完成分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在近凯勒 $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ 中，常截面曲率的拉格朗日子流形可能有哪些？
• RQ2 平坦拉格朗日子环面是否存在于 $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ 中？若存在，其构造方式如何？
• RQ3 嵌入在 $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ 中的圆拉格朗日子球面可能的半径有哪些？
• RQ4 角度函数与曲率关系如何约束此设定下非完全测地拉格朗日子流形的几何结构？
• RQ5 为何在近凯勒几何中缺乏达布定理，使得拉格朗日子流形的黎曼分类成为必要？

主要发现

• 在 $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ 中构造出一个新例子：平坦拉格朗日子环面，其来源于 $\mathbb{S}^3$ 中常平均曲率环面。
• 在 $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ 中，圆拉格朗日子球面可能的半径仅有 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 与 $\frac{4}{\sqrt{3}}$。
• 所有在 $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ 中具有常截面曲率的拉格朗日子流形，均局部同构于五个显式例子之一：三个完全测地浸入与两个非完全测地浸入。
• 非完全测地拉格朗日子流形若具有常曲率，则其角度函数必须为常数，除非在某些方向上第二基本形式消失，否则将导致矛盾。
• 当 $\sin(2\theta_i - \theta_j - \theta_k) = 0$ 或 $\cos(\theta_i - \theta_j) = 0$ 时，结论为子流形必须完全测地，因此此类配置无法存在于非完全测地例子中。
• 分类是完整的：任何在 $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ 中具有常截面曲率的拉格朗日子流形，均局部同构于所列五个浸入之一。