[论文解读] Lah-Bell numbers and polynomials

Dae San Kim, Taekyun Kim|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2020

Advanced Mathematical Identities参考文献 8被引用 16

一句话总结

本文引入了 Lah-Bell 数及其多项式，作为基于线性有序子集划分的 Bell 数的自然推广，并推导了其生成函数、递推关系，以及与 Stirling 数和 Bell 多项式的关系。此外，本文进一步发展了这些数与多项式的退化版本，建立了与退化 Bell 多项式之间的联系，并给出了显式公式和类似 Dobinski 的恒等式。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the Lah-Bell numbers and their natural extensions, namely the Lah-Bell polynomials, and derive some basic properties of such numbers and polynomials by using elementary methods. In addition, we consider the degenerate Lah-Bell numbers and polynomials as degenerate versions of the Lah-Bell numbers and polynomials.

研究动机与目标

• 定义并研究 Lah-Bell 数与多项式，作为基于线性有序集合划分的 Bell 数的组合推广。
• 为 Lah-Bell 多项式建立生成函数、显式公式和递推关系。
• 探讨 Lah 数、第一类与第二类 Stirling 数，以及 Bell 多项式之间的联系。
• 引入并分析 Lah-Bell 数与多项式的退化版本，作为标准 Lah-Bell 结构的退化类比。
• 推导退化 Lah-Bell 多项式的显式表达式与生成函数，并将其与退化 Bell 多项式关联。

提出的方法

• 定义 Lah-Bell 数 $ B_n^L = ∑_{k=0}^n L(n,k) $，其中 $ L(n,k) $ 为无符号 Lah 数，表示划分为 $ k $ 个线性有序子集的数目。
• 推导 Lah-Bell 数的指数生成函数 $ \sum_{n=0}^\infty B_n^L \frac{t^n}{n!} = e^{\frac{t}{1-t}} $。
• 通过生成函数 $ \sum_{n=0}^\infty B_n^L(x) \frac{t^n}{n!} = \exp\left(\frac{1}{1-t} - 1\right)^x $ 引入 Lah-Bell 多项式 $ B_n^L(x) $，从而推广 Lah-Bell 数。
• 建立二元 Lah-Bell 多项式并推导其生成函数，将其与二元 Bell 多项式联系起来。
• 利用退化指数函数 $ e_\lambda^x(t) $ 定义退化 Lah-Bell 多项式 $ B_{n,\lambda}^L(x) $，其生成函数为 $ \sum_{n=0}^\infty B_{n,\lambda}^L(x) \frac{t^n}{n!} = e_\lambda^x\left(\frac{1}{1-t} - 1\right) $。
• 推导显式公式 $ B_{n,\lambda}^L(x) = \sum_{k=0}^n L(n,k) (x)_{k,\lambda} $，其中 $ (x)_{k,\lambda} $ 为退化下降阶乘。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lah-Bell 数与多项式的生成函数和显式公式是什么？
• RQ2 Lah-Bell 多项式如何与经典 Bell 多项式及 Stirling 数相关联？
• RQ3 退化 Lah-Bell 数与多项式的组合与代数结构是什么？
• RQ4 退化 Lah-Bell 多项式如何与退化 Bell 多项式关联？
• RQ5 Lah-Bell 多项式具有怎样的递推关系与微分性质？

主要发现

• Lah-Bell 数的生成函数为 $ \sum_{n=0}^\infty B_n^L \frac{t^n}{n!} = e^{\frac{t}{1-t}} $，由 Lah 数的指数生成函数推导得出。
• Lah-Bell 多项式满足 $ B_n^L(x) = \sum_{k=0}^n L(n,k) (x)_k $，其中 $ (x)_k $ 为下降阶乘。
• 通过关系 $ B_n = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} B_k^L S_2(n,k) $ 建立了 Lah-Bell 数的类似 Dobinski 恒等式，将其与普通 Bell 数联系起来。
• 定义了二元 Lah-Bell 多项式并推导其生成函数，表明其与 Laguerre 多项式具有卷积结构。
• 退化 Lah-Bell 多项式由 $ B_{n,\lambda}^L(x) = \sum_{k=0}^n L(n,k) (x)_{k,\lambda} $ 给出，其中 $ (x)_{k,\lambda} $ 为退化下降阶乘。
• 一个关键恒等式将退化 Lah-Bell 多项式与退化 Bell 多项式联系起来：$ B_{n,\lambda}(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} S_2(n,k) B_{k,\lambda}^L(x) $，且其对偶形式为 $ B_{n,\lambda}^L(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} S_1(n,k) B_{k,\lambda}(x) $。