[论文解读] Landau's necessary density conditions for the Hankel transform

Luís Daniel Abreu, Afonso S. Bandeira|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2011

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 16被引用 9

一句话总结

本文建立了Hankel变换空间中采样与插值的Landau型必要密度条件，证明了采样序列的下密度必须至少为 $\frac{1}{\pi}m(S)$，而插值序列的上密度至多为 $\frac{1}{\pi}m(S)$，其中 $m(S)$ 为谱支撑集 $S$ 的测度。结果将经典傅里叶分析中的密度定理推广至基于贝塞尔函数的函数空间。

ABSTRACT

We will prove an analogue of Landau's necessary conditions [Necessary density conditions for sampling and interpolation of certain entire functions, Acta Math. 117 (1967).] for spaces of functions whose Hankel transform is supported in a measurable subset S of the positive semi-axis. As a special case, necessary density conditions for the existence of Fourier-Bessel frames are obtained.

研究动机与目标

• 将Landau的经典必要密度条件——最初针对傅里叶分析中的带限函数——推广至Hankel变换和贝塞尔函数展开的背景。
• 解决非谐波傅里叶-Bessel框架以及Hankel变换在可测集 $S \subset (0,\infty)$ 上支撑的函数空间中插值问题缺乏密度结果的不足。
• 在 $\mathcal{B}_\alpha(S)$ 中，分别以谱支撑的测度 $m(S)$ 表示，推导采样与插值序列密度的定量下界与上界。
• 克服Hankel变换设定下缺乏平移不变性的问题，该问题使得傅里叶分析中常用的基于特征值的方法无法直接应用。

提出的方法

• 将函数空间 $\mathcal{B}_\alpha(S)$ 定义为 $L^2(0,\infty)$ 中的函数集合，其阶数 $\alpha > -1/2$ 的Hankel变换在可测集 $S \subset (0,\infty)$ 上有支撑，从而推广Paley-Wiener空间。
• 基于当 $r \to \infty$ 时区间 $[a, a+r]$ 中点的渐近平均数量，为 $(0,\infty)$ 中的序列 $\Lambda$ 定义密度 $D^{-}(\Lambda)$ 与 $D^{+}(\Lambda)$，并适配Hankel变换的非平移不变结构。
• 通过在 $[0,r]$ 上对浓度算子 $\mathcal{R}_\alpha(r,S)$ 进行谱分析，估计特征值 $\lambda_j(r,S)$，将高于某阈值的特征值数量与采样/插值点数量关联。
• 建立在区间 $(\delta_0, \gamma_0)$ 内特征值数量的界限，其随 $r$ 的增长至多为对数增长，从而推导出采样与插值序列的渐近密度估计。
• 应用逼近论证：对于一般可测集 $S$，通过有限个区间的并（采样）或开集的并（插值）来覆盖 $S$，利用测度逼近将区间情形的结果推广至一般情形。
• 利用积分算子的迹与范数估计，推导出高于某阈值的特征值数量的下界，从而实现密度不等式的推导。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Hankel变换空间 $\mathcal{B}_\alpha(S)$ 中，一个序列成为采样集的必要下密度是什么？
• RQ2 当 $S$ 有界时，一个序列成为插值集的必要上密度是什么？
• RQ3 在 $[0,r]$ 上的浓度算子的特征值如何与 $\mathcal{B}_\alpha(S)$ 中采样与插值序列的密度相关？
• RQ4 尽管底层特征值问题中缺乏平移不变性，是否仍可将Landau型密度条件推广至Hankel变换空间？
• RQ5 当 $r \to \infty$ 时，$[0,r]$ 中采样/插值点数量的渐近行为如何？其与 $m(S)$ 的关系是什么？

主要发现

• 对于任意分离的集合 $\Lambda$，若其为 $\mathcal{B}_\alpha(S)$ 的采样集，则其下密度满足 $D^{-}(\Lambda) \geq \frac{1}{\pi}m(S)$，确立了采样密度的必要下界。
• 对于任意集合 $\Lambda$，若其为 $\mathcal{B}_\alpha(S)$ 的插值集且 $S$ 有界，则其上密度满足 $D^{+}(\Lambda) \leq \frac{1}{\pi}m(S)$，提供了插值密度的必要上界。
• 当 $S$ 为有限个区间的并时，$[0,r]$ 中的采样点数至少为 $\frac{1}{\pi}r m(S) - A\log r - B$，其中常数 $A, B$ 与 $r$ 无关，表明其与理想密度存在对数偏差。
• 对于插值，$[0,r]$ 中的点数至多为 $\frac{1}{\pi}r m(S) + C\log r + D$，其中常数 $C, D$ 与 $r$ 无关，表明其与临界密度存在类似的对数偏差。
• 通过逼近方法将结果推广至一般可测集 $S$：对于紧致 $S$，通过区间覆盖实现采样结果的推广；对于有界 $S$，通过开集外逼近实现插值结果的推广。
• 证明通过使用浓度算子的谱估计和迹-范数不等式，克服了缺乏平移不变性的问题，控制了关键区间内特征值的数量，从而实现了密度界限的推导。