[论文解读] Langlands duality for Hitchin systems

Ron Donagi, Tony Pantev|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 18

一句话总结

本文通过证明复代数群 $G$ 的Hitchin系统与它的Langlands对偶群 ${}^L G$ 的Hitchin系统之间存在对偶性，确立了Hitchin系统的Langlands对偶性。该对偶性通过Hitchin基的同构、cameral Poincaré簇的对偶性以及Higgs gerbes的导出范畴等价性得以实现，最终构造出作为几何Langlands特征sheaf的古典极限的阿贝尔化Hecke特征层。

ABSTRACT

We show that the Hitchin integrable system for a simple complex Lie group $G$ is dual to the Hitchin system for the Langlands dual group $\lan{G}$. In particular, the general fiber of the connected component $\Higgs_0$ of the Hitchin system for $G$ is an abelian variety which is dual to the corresponding fiber of the connected component of the Hitchin system for $\lan{G}$. The non-neutral connected components $\Higgs_α$ form torsors over $\Higgs_0$. We show that their duals are gerbes over $\Higgs_0$ which are induced by the gerbe of $G$-Higgs bundles $\gHiggs$. More generally, we establish a duality between the gerbe $\gHiggs$ of $G$-Higgs bundles and the gerbe $\lan{\gHiggs}$ of $\lan{G}$-Higgs bundles, which incorporates all the previous dualities. All these results extend immediately to an arbirtary connected complex reductive group $\mathbb{G}$.

研究动机与目标

• 通过Langlands对偶性，建立复代数群的Hitchin可积系统自对偶性。
• 证明$G$和${}^L G$的Hitchin纤维的中性连通分支是彼此对偶的阿贝尔簇。
• 将$G$和${}^L G$的非中性连通分支的对偶性识别为Langlands对偶Hitchin系统上的自然gerbes。
• 构造$G$-和${}^L G$-Higgs gerbes的导出范畴之间的等价性。
• 将阿贝尔化Hecke特征层实现为几何Langlands特征层的古典极限。

提出的方法

• 利用$\mathfrak{g}$上的$G$-不变双线性型，构造$G$和${}^L G$的Hitchin基$B$与${}^L B$之间的同构，保持判别除子不变。
• 应用Abel-Jacobi映射和阿贝尔化Hecke算子，将cameral覆叠上的谱数据与广义Prym簇联系起来。
• 在$W$-等变${}^L T$-丛上构造范数映射$\operatorname{Nm}$，以定义阿贝尔化Hecke函子。
• 利用$C$上的普遍丛和主齐性空间，实现gerbes $\boldsymbol{\mathcal{Higgs}}$与${}^L\boldsymbol{\mathcal{Higgs}}$的对偶性。
• 通过阿贝尔化Hecke函子的图的结构层进行积分变换，定义导出范畴等价性。
• 利用$1$-动机和谱数据的理论，将对偶性推广至半单群和Hecke特征层。

实验结果

研究问题

• RQ1 Langlands对偶性在半单群的Hitchin系统几何中如何体现？
• RQ2 $G$和${}^L G$的Hitchin纤维的中性和非中性连通分支之间的确切对偶关系是什么？
• RQ3 如何证明$G$-Higgs丛gerbes与${}^L G$-Higgs丛gerbes在判别子集补集上是对偶的？
• RQ4 阿贝尔化Hecke算子在构造Hitchin系统的特征层中起什么作用？
• RQ5 在$G$-和${}^L G$-Higgs gerbes的导出范畴之间建立的等价性，如何实现几何Langlands对应关系的古典极限？

主要发现

• $G$的Hitchin基$B$通过$G$-不变双线性型与${}^L G$的基${}^L B$同构，判别子集被互换。
• $G$的中性连通分支$\mathbf{Higgs}_0$的通纤维是广义Prym簇，其对偶于${}^L G$的相应纤维。
• 非中性连通分支$\mathbf{Higgs}_\alpha$与${}^L\mathbf{Higgs}_0$上的gerbes对偶，这些gerbes由普遍$G$-Higgs gerbe $\boldsymbol{\mathcal{Higgs}}$诱导。
• 该对偶性在判别子集的补集上全局成立，建立了$\boldsymbol{\mathcal{Higgs}}$与${}^L\boldsymbol{\mathcal{Higgs}}$之间的对偶性。
• 在$\boldsymbol{\mathcal{Higgs}}$与${}^L\boldsymbol{\mathcal{Higgs}}$之间建立了导出范畴等价性，将经典对偶性提升至范畴层面。
• 阿贝尔化Hecke特征层被构造为几何Langlands特征层的古典极限，从而显式实现了Hecke特征性质。