[论文解读] Laplace transformation method for the Black-Scholes equation

Hyoseop Lee, Dongwoo Sheen|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用 9

一句话总结

本文提出了一种高阶、可并行化的拉普拉斯变换方法，用于求解具有时变和空变系数的布莱克-斯科尔斯方程，实现了高效的期权定价。通过拉普拉斯反演将抛物型PDE转化为一系列独立的椭圆问题，该方法实现了谱收敛性，并在并行计算中实现了接近理想的加速比，显著优于传统的时间推进格式，同时保持了高精度和透明边界条件。

ABSTRACT

In this paper we apply the innovative Laplace transformation method introduced by Sheen, Sloan, and Thomée (IMA J. Numer. Anal., 2003) to solve the Black-Scholes equation. The algorithm is of arbitrary high convergence rate and naturally parallelizable. It is shown that the method is very efficient for calculating various options. Existence and uniqueness properties of the Laplace transformed Black-Scholes equation are analyzed. Also a transparent boundary condition associated with the Laplace transformation method is proposed. Several numerical results for various options under various situations confirm the efficiency, convergence and parallelization property of the proposed scheme.

研究动机与目标

• 开发一种快速、高阶的数值方法，用于求解具有时变和空变系数的布莱克-斯科尔斯方程，其中精确解析解不可用。
• 克服传统时间推进格式的计算瓶颈，这些格式需要大量时间步长，且每步都需要昂贵的椭圆方程求解。
• 通过利用拉普拉斯变换最小化椭圆方程的求解次数，从而显著降低计算成本。
• 提出一种透明边界条件，可在最小误差下准确截断无限空间域。
• 展示该方法在各种期权类型（包括篮子期权）下的高收敛速率、并行化效率和鲁棒性。

提出的方法

• 该方法对时间变量应用拉普拉斯变换，将时变的布莱克-斯科尔斯PDE转化为一组由拉普拉斯变量 $ z $ 参数化的独立椭圆方程。
• 每个变换后的方程在截断的空间域上独立求解，使用有限差分或有限元方法，从而实现在 $ z $-点上的完全并行化。
• 通过在复平面上精心选择的路径上进行数值积分，执行拉普拉斯逆变换，以恢复时间域中的解。
• 该方法使用包含参数 $ \gamma, \nu, s, \tau $ 的复路径，以确保逆拉普拉斯反演的快速收敛性和稳定性。
• 基于解的渐近行为，为变换后的方程推导出一种新颖的透明边界条件，以最小化人工边界处的虚假反射。
• 空间域在 $ L $ 处截断，边界条件被设计为匹配向外传播波的行为，从而在不增加域大小的情况下提高精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 拉普拉斯变换方法能否在具有变系数的布莱克-斯科尔斯方程上实现高阶收敛，优于经典的时间推进格式？
• RQ2 与标准的狄利克雷条件相比，所提出的透明边界条件在减小域尺寸的同时，能否有效保持解的精度？
• RQ3 该方法在多大程度上可实现并行化？在实际应用中是否能达到接近理想的加速比？
• RQ4 当应用于具有相关标的资产的多资产篮子期权时，该方法的收敛速率如何？
• RQ5 与通过克拉姆-尼科尔森格式获得的参考解相比，该方法在误差和计算成本方面表现如何？

主要发现

• 该方法在空间上实现了二阶收敛，欧洲期权情况下观测到的减少率约为 2.000，与理论预期一致。
• 对于篮子期权，该方法表现出约 1.81 的收敛率，表明即使在高维情况下也保持了二阶精度。
• 当使用原域四分之一大小的域时，透明边界条件将相对 $ L^2 $ 误差减少了近一半，相比狄利克雷条件。
• 在 $ 128 \times 128 $ 网格上，使用 15 个 CPU 时，该方法实现了 13.2 的加速比，证明了接近理想的并行化效率。
• 使用 15 个 $ z $-点进行的数值拉普拉斯反演产生了具有极小误差的准确期权价格，证实了该方法的鲁棒性和稳定性。
• 所提出的透明边界条件显著优于狄利克雷条件，尤其在计算域减小的情况下，使其特别适用于高维问题。