[论文解读] Large Deviations for the Empirical Distribution in the General Branching Random Walk

Oren Louidor, Eliad Tsairi|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 18被引用 6

一句话总结

该论文在最小矩和支撑假设下，为一般分支随机游走中的经验分布建立了大偏差原理。它表明，粒子在某一集合中所占比例发生大偏差的概率以双重指数形式衰减，衰减速率取决于集合和偏差大小，为 $ n $ 或 $ \sqrt{n} $，并为每种情形推导出精确的速率函数 $ I(A,p) $ 和 $ J(A,p) $。

ABSTRACT

We consider the general branching random walk under minimal assumptions, which in particular guarantee that the empirical particle distribution admits an almost sure central limit theorem. For such a process, we study the large time decay of the probability that the fraction of particles in a typical set deviates from its typical value. We show that such probabilities decay doubly exponentially with speed which is either linear in or the square root of the number of generations, depending on the set and the magnitude of the deviation. We also find the rate of decay in each case.

研究动机与目标

• 研究一般分支随机游走中经验粒子分布偏离其典型值的长期衰减速率。
• 将现有大偏差结果从独立位移假设推广至具有依赖繁殖的一般情形。
• 在最小矩和支撑条件下，刻画此类偏差的衰减速率和速率函数。
• 建立衰减为双重指数，且衰减速率取决于集合和偏差大小，为 $ n $ 或 $ \sqrt{n} $ 的结论。
• 为两种不同的衰减情形推导出显式的速率函数 $ I(A,p) $ 和 $ J(A,p) $。

提出的方法

• 通过具有独立同分布后代分布的递归点测度动态形式化一般分支随机游走。
• 施加最小假设 (A1)-(A5)：可积性、均值为零的位移、有界对数矩、离散支撑以及非退化性。
• 定义经验测度 $ \bar{Z}_n = Z_n / |Z_n| $，并研究 $ \mathbb{P}(\bar{Z}_n(\sqrt{n}A) \geq p) $，其中 $ p > \nu(A) $。
• 引入速率函数 $ I(A,p) $ 和 $ J(A,p) $，分别对应于衰减速率 $ \sqrt{n} $ 和 $ n $。
• 使用大偏差技术，包括指数倾斜和路径构造，以控制粒子数量和位置分布。
• 构造具有受控增长和平均位置的极值测度 $ \zeta_n \in \mathcal{Z}_n(b) $，以建立偏差概率的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般分支随机游走中，经验测度偏离其典型值的概率的渐近衰减速率是什么？
• RQ2 衰减速率如何依赖于集合 $ A $ 和偏差水平 $ p > \nu(A) $？
• RQ3 在何种条件下衰减以 $ \sqrt{n} $ 速度发生，而在何种条件下以 $ n $ 速度发生？这一区别的决定因素是什么？
• RQ4 在每种情形下，控制双重指数衰减的精确速率函数 $ I(A,p) $ 和 $ J(A,p) $ 是什么？
• RQ5 这些结果能否从独立位移模型推广至具有依赖繁殖的一般情形？

主要发现

• 概率 $ \mathbb{P}(\bar{Z}_n(\sqrt{n}A) \geq p) $ 随 $ n \to \infty $ 以双重指数形式衰减，衰减速率取决于 $ A $ 和 $ p $，为 $ \sqrt{n} $ 或 $ n $。
• 对于满足 $ \nu(A) < p < 1 $ 的集合 $ A $ 和偏差 $ p $，当衰减速率为 $ \sqrt{n} $ 时，衰减速率由 $ I(A,p) $ 决定；当衰减速率为 $ n $ 时，由 $ J(A,p) $ 决定。
• 速率函数 $ I(A,p) $ 对应该情形：偏差由粒子数量及其空间扩展的罕见波动驱动。
• 速率函数 $ J(A,p) $ 出现在偏差主要由繁殖率 $ b $ 的罕见波动主导的情形，其中 $ \alpha^+ $ 和 $ \alpha^- $ 决定粒子高度的最大增长和衰减速率。
• 证明表明 $ \alpha^\pm_n \uparrow \alpha^\pm \in (0, r_0] $，确保在假设条件下极值增长率的存在性。
• 构造具有 $ |\zeta_n| \approx e^{bn} $ 和 $ \langle \bar{\zeta}_n, x \rangle \approx n \cdot \beta^{-1}(b_1 - b) $ 的极值测度 $ \zeta_n \in \mathcal{Z}_n(b) $，证实了此类具有受控增长和位置的罕见路径的存在性。